Введение в логику и научный метод

Читатель, должно быть, обратил внимание на то, что обычно определяющее выражение является более длинным, чем определяемое, причем не только в номинальных определениях, которые для этого и созданы, но также и в реальных определениях. Данный факт тесно связан с психологическими целями определений. Поскольку определяющее выражение содержит большее число символов, чем определяемое, оно также порождает в сознании и большее число идей. Данные идеи, однако, структурно связаны друг с другом и, ограничивая друг друга, одновременно в своей совокупности эквивалентны значению определяемого выражения. Так, в приведенном выше определении сходства правая сторона содержит символы «отношение», «расстояние», «соответствующие точки», «неизменный»; представляемые ими понятия являются знакомыми, и они систематизированы так, что доля неясности, содержащаяся в каждом из них, не влияет на смысл сложного целого.

Данный психологический феномен проявляется более наглядно в тех случаях, когда значение слова проясняется с помощью ряда синонимов. Так, «быть честным» значит «быть беспристрастным, объективным, открытым, искренним, откровенным, прямым, заслуживающим доверия, бесхитростным». Ни один из так называемых синонимов не обладает в точности тем же значением, что и слово «честный». Однако содержания синонимов частично совпадают таким образом, что они взаимно друг друга ограничивают. Та часть, которая является общей у всех этих содержаний, может с большей или меньшей точностью проявить значение нужного слова.

Логическая цель определений

Однако не следует путать рассмотренные психологические причины для формулировки определений с логической функцией, которой обладают определения. Логически определения стремятся раскрыть основные свойства или структуру понятия отчасти для того, чтобы придать понятию определенность, отчасти для того, чтобы отграничить его от других понятий, а отчасти для того, чтобы обусловить систематическое исследование предметной области, относящейся к данному понятию. При логическом изучении некоторой предметной области реальное определение всегда может использоваться в качестве посылки или части посылки. Так, из определения подобных фигур с учетом других посылок мы можем вывести теорему о том, что объемы любых двух подобных фигур соотносятся друг с другом так же, как и кубы любых двух соответствующих расстояний. Аристотель это четко осознавал, когда утверждал, что «определения суть начала доказательств» [69] .

К сожалению, терминология, относящаяся к данным вопросам, претерпела серьезные изменения. Поэтому всякая попытка свести традиционное и современное видение кажется сбивающей с толку. В методике современной математики, как мы уже видели, все реальные определения являются неявными. В ней не требуется каких-либо явных определений, кроме номинальных. Однако то, что Аристотель называл «недоказуемыми определениями», открывающими сущность предметной области, в современной логической методике представлено аксиомами, или примитивными суждениями. Такие аксиомы определяют предметную область неявно, т. е. как удовлетворяющую или верифицирующую эти аксиомы. Примером тому может послужить природа электричества в том виде, в каком она определяется в уравнениях Максвелла, а также природа гравитации, определяемая законами Ньютона. По-видимому, нет необходимости напоминать читателю о том, что даже если данная система реальных определений или аксиом может логически предшествовать всем теоремам, при развитии нашего знания эти аксиомы, тем не менее, по порядку следуют далеко не первыми, равно как и не являются более очевидными или достоверными, чем любая из имплицируемых ими теорем.

Мы провели четкое различие между вербальными и реальными определениями. Однако на практике данное различие никогда не является таким четким, и даже в определениях, которые по своей форме кажутся вербальными, все равно присутствует некоторое общее указание на анализ того, что данные слова обозначают. Было бы странно, если бы этого не было, ибо слова по своей природе являются обозначающими. Более того, содержащиеся в словах эмоциональные ассоциации и намеки зачастую могут препятствовать ясному осознанию их значений. Такая ситуация особенно характерна для общественных наук. Такие слова, как «демократия», «свобода», «долг», обладают сильной эмоциональной функцией; они часто звучат в качестве лозунгов в бою, взывая к эмоциям и заменяя мысли. Многие споры об истинной природе собственности, религии, закона, которые, без сомнения, возникают из конфликта эмоциональных установок, с неизбежностью исчезнут, если бы вместо самих этих слов были поставлены их точно определенные эквиваленты.