Введение в логику и научный метод

В каждом из данных трех суждений утверждается импликация. Заключение является обоснованным следствием, поскольку отношение импликации является транзитивным.

§ 4. Символы: их функция и ценность

Если ценность в проведении различий между разными видами отношений заключается лишь в проявлении основ и без того уже знакомых умозаключений, то читатель может счесть подобные исследования бесплодными. Однако в действительности изучение логических свойств отношений дает ключ к систематическому исследованию более сложных видов вывода. Такие более сложные формы вывода, в свою очередь, нельзя изучать без введения специальных символов. Ценность таких специальных символов в обобщенном изучении логики столь высока, что такое изучение стали называть символической, или математической, логикой.

Важность символов в развитии современной логики невозможно переоценить. Согласно Пирсу: «Символы являются основой любого мышления и любого исследования, символы – неотъемлемое условие существования мысли и науки; поэтому неверно говорить, что для хорошей мысли важен хороший язык именно потому, что последний является сущностью первой» [42] . Именно поэтому нам необходимо исследовать функцию и ценность символов.

1. Родовые особенности языка. Лучше всего начать с родовых особенностей всех языков. Языки отличаются друг от друга в двух отношениях: с одной стороны, в них используются различные фонетические и идеографические элементы; с другой – различные группы идей обозначаются в них фиксированными фонетическими и графическими элементами. Виды опыта, для выражения и передачи которых предназначен язык, имеют бесконечное число особенностей, тогда как в языке используется лишь конечное число фундаментальных лингвистических элементов, которые можно называть «основой слова». Из этого следует, что любой язык в том виде, в каком мы его знаем, должен основываться на определенной широкозахватной классификации, или категоризации, опыта. Смысловые впечатления или чувственные состояния, не будучи абсолютно идентичными, группируются по принципу широких сходств. Такая группировка указывает на наличие большого числа свойств, общих для каждой группы. Более того, различные виды отношений между этими наборами групп также значимы и требуют выражения в языке.

То, по каким группам будут распределены виды опыта, зависит от интересов пользователей языка, равно как и от выражаемой предметной области. Следовательно, категоризации опыта, удовлетворительные для одних целей, могут не оказаться таковыми для других. А язык, функционирующий как удовлетворительная символическая схема в одном случае, может оказаться слишком неуклюжим или же, наоборот, чрезмерно утонченным в другом. В любом случае читателю следует учесть, что символическим является весь язык, а не только символическая логика. Всякая коммуникация или исследование происходят посредством слов, звуков, графических меток, жестов и т. д. Слова указывают на нечто, будь то чувства, идеи или содержание идей. Когда мы говорим: «У соседей пожар», то произносимые нами звуки не являются тем, что они обозначают. Звуки, к примеру, не горят, они не находятся на отдалении в несколько футов и т. д. Они обозначают нечто для кого-то.

Классификации видов опыта, на которых основываются языки, как правило, четко не отделены друг от друга. Вследствие этого языки в известной степени страдают неопределенностью. Так, несмотря на то что число различимых оттенков цветов весьма велико, лишь несколько из них получили имена. В различных языках имена получают различные цвета, и границы, конституирующие цвет, также зачастую разнятся. Даже в научных языках присутствует некоторая неопределенность относительно пределов обозначений или применений, присущих именам.

В силу того обстоятельства, что, с одной стороны, число основ слова в любом языке невелико, тогда как, с другой стороны, число особенностей видов опыта неограниченно, то последние зачастую приходится представлять с помощью определенных сочетаний словарных основ. Такие виды сочетаний в языке являются формальными элементами и служат теоретическим базисом грамматики. То, что эти формальные аспекты языка в своей совокупности не являются случайными, не вызывает сомнений, ибо комбинации словарных основ должны представлять виды опыта так, чтобы в них можно было усмотреть отношения между тем, что обозначается этими словарными основами, взятыми по отдельности. Грамматика не может заменить логический анализ, однако, несмотря на это, существует некое сходство между логикой и грамматикой. Грамматическая структура представляет определенные абстрактные отношения, которыми обладает предмет, когда он выражен в языке.

Обыденные языки разрабатывались для практических потребностей, в случае с которыми тонкие различия не требуются и даже могут послужить помехой. Большинство языков по своему характеру являются эмоциональными и номинальными. Они направлены на то, чтобы передать или вызывать определенное чувство. Все эти факты вкупе с вышесказанным демонстрируют, что подобные языки не могут использоваться для адекватного и неискаженного представления тех различий, которые появляются в результате утонченного анализа или которые происходят из классификаций опыта, проведенных ради иных целей. Следовательно, если мы хотим избежать искажений, привносимых чувственными и интеллектуальными подтекстами в точный анализ, если мы хотим по возможности максимально ограничить неопределенность обыденных символов, если мы хотим не допустить даже мелких изменений значения вербальных символов, то нам необходимо разработать специально сконструированные символы.

Лингвистические изменения

Изучение того, как слова меняют свои значения, является захватывающим занятием. В следующей главе мы рассмотрим некоторые примеры путаницы в философии математики, ставшей следствием того, что подобные изменения не были вовремя усмотрены. Мы сконцентрируемся лишь на двух способах полной потери словом своего исходного значения и его замены на другое значение.

Одним из этих способов является обобщение. Один и тот же символ может со временем начать обозначать более широкий класс объектов и, тем самым, перестать с точностью обозначать более специальные вещи, обозначавшиеся с помощью него ранее. Так, символ «бумага» раньше обозначал папирус; затем он начал обозначать писчий материал, сделанный из лоскутьев; сегодня с помощью него обозначается не только писчий материал из лоскутьев, но также и изделие, получаемое в результате химически обработанной древесной массы. История слова «число» также может служить примером процесса постепенного обобщения. Сначала оно обозначало лишь целые числа; затем постепенно также и дробные, иррациональные, трансцендентные (такие, как к) и даже детерминанты. Другими примерами подобных слов являются «сила», «энергия», «геометрия» и «равенство».

Вторым способом, с помощью которого могут изменяться значения, является специализация. Для одного и того же символа область обозначаемых им объектов может быть ограничена. Тем самым он начинает обозначать более специальные вещи, чем обозначал ранее. Так, слово «хирург» («surgeon») некогда означало любого человека, работавшего руками. Сегодня им обозначаются лишь те, у которых есть специальное медицинское образование. Другими словами, со временем подвергнувшимися процессу специализации являются такие, как «министр», «целитель» и «художник».

Более интересное и плодотворное изменение значений слов происходит в результате расширения сферы их применения по причине метафорического расширения их значения. Так, слово «управляющий» («governor») некогда обозначало рулевого на корабле, «дух» («spirit») обозначало дыхание, изгиб трубы называется «локтем», а соответствующие соединительные окончания трубы называются «мама» и «папа» и т. д.

Ценность специальных символов

На данном этапе можно суммировать преимущества, которые можно получить от специально построенных символов.

Во-первых, такие символы позволяют различить и впоследствии не отождествлять различные значения. Нам нужно лишь договориться об употреблении отдельного символа для каждого отдельного понятия и не допускать обозначения разных понятий с помощью одного и того же символа. Это позволит свести к минимуму неопределенность, присущую обыденному языку.

Во-вторых, удобный символ позволяет сконцентрироваться на том, что является существенным в данном контексте. Когда в математике мы заменяем букву, например R, сложным выражением, таким как (а + Ь + с + d), или когда мы в силлогизме используем буквы «S», «Р», «М» для обозначения терминов «Сократ», «смертный» и «человек», мы недвусмысленно даем понять, что результат нашего размышления зависит не от специального значения этих выражений, а от соединяющих их абстрактных отношений.

Третьей важной функцией символов является ясное и краткое проявление формы суждений. Данная функция давно используется в математике. Так, в качестве элементарного примера можно рассмотреть различие в форме между «4х2 = 5х – 1» и «4х3 = 5х2 – 1» и тождество форм между «х + 4– у = 1» и «4х = Зу», которые можно усмотреть при первом же поверхностном взгляде. В первой паре уравнений одно является квадратным, а другое – кубическим, оба уравнения из второй пары являются линейными. Если бы подобные уравнения формулировались словами, то людям было бы не под силу осуществлять длинные цепочки умозаключений. Так, описание уравнений Максвелла в словах заняло бы несколько страниц, что укрыло бы существенные отношения между различными элементами. Адекватно введенные символы проясняют то, что является постоянным и неизменным в суждении, и то, что является лишь переменной. Неизменные свойства являются формой, или структурой, суждения.

Четвертое и значительное преимущество подобных символов – это их функция, сокращающая физические и мысленные усилия. Когда выработаны символы, многое из того, что ранее требовало концентрации и внимания, выполняется механически. Зачастую символьная запись подсказывает выводы, которые при обычных условиях не были бы замечены исследователем. Открытие отрицательных и мнимых чисел, введение

Максвеллом электрического смещения и последующее открытие эфирных волн стали прямым следствием указанного свойства символов. Именно по этой причине иногда говорится, что «при расчетах перо кажется умнее своего пользователя». Важность специально построенных символов с очевидностью проявляется именно в этой возможности использовать их в качестве исчисления.

§ 5. Исчисление классов

Развитие адекватной символьной записи наряду с открытием формальных свойств отношений позволили обобщить традиционную логику, равно как и получить мощное исчисление.

Например, операции сложения, умножения и т. д. в математических науках могут рассматриваться в терминах теории отношений. Так, операция сложения основывается на трехместном отношении. Отношение а + Ь = с связывает два слагаемых, а и Ь, с с. Данное отношение является много-однозначным, поскольку любой паре слагаемых соответствует одна, и только одна, сумма, тогда как одной сумме соответствует неопределенное число пар слагаемых. Однако если сумма и одно из слагаемых зафиксированы, то другое слагаемое однозначно определимо. Подобные трехместные отношения, присутствующие в различных видах операций, можно изучать и более подробно.

Однако нет необходимости в том, чтобы этими операциями были только обычные алгебраические операции. Операции, в целом относящиеся к типу неколичественных, были выработаны для сочетания классов, рассмотренных с их объемами.

Ниже мы предлагаем краткое описание общей теории классов суждений, которое хотелось бы предварить советом, взятым из работ Доджсона: «Если вы не поняли определенный отрывок, перечитайте его заново. Если он все равно остался непонятным, перечитайте его заново. Если, прочитав отрывок три раза, вы не достигли понимания, то, скорее всего, ваш мозг начал уставать. В этом случае отложите книгу и займитесь другими делами, а на следующий день, когда вы прочтете его свежим взглядом, он наверняка покажется вам вполне легким для понимания».

Из истории символической логики известно, что сначала была разработана теория классов, поскольку было изначально замечено, что аристотелевскую логику можно рассматривать как дисциплину, имеющую дело с взаимосвязями между классами. Однако при систематическом изложении принципов логики логика классов не занимает первого места относительно других принципов. Утверждать, что два класса находятся друг к другу в определенном отношении, означает утверждать определенное суждение. Любое исследование в рамках теории классов использует принципы теории суждений. Поэтому теория суждений предшествует любому другому исследованию в области логики и должна быть разработана в первую очередь. Однако в столь элементарном обсуждении, каким является наше исследование, данным обстоятельством можно пренебречь, поскольку наша основная цель заключается в том, чтобы указать на то направление, в котором может быть расширена традиционная логика, а не в том, чтобы предложить систематический анализ обобщенной логической теории. Поэтому ничего страшного не произойдет, если мы, изменив логическому порядку, проследим за хронологической последовательностью в разработке данных логических принципов.

Операции и отношения

Под термином «класс» мы будем понимать группу индивидуальных объектов, каждый из которых обладает определенными свойствами, благодаря которым он считается членом данного класса. Так, класс, обозначаемый термином «человек», является множеством отдельных людей, класс, обозначаемый термином «четное число», является множеством четных целых чисел и т. д. Таким образом, мы будем рассматривать классы относительно их объема. Область возможных классов называется универсумом рассуждения (предметной областью) или просто универсумом (областью). Он будет обозначаться символом «1». Может случиться так, что класс не будет содержать никаких членов. Например, класс людей ростом в двадцать футов не имеет членов, хотя и обладает определяющей характеристикой, а именно: человек ростом в двадцать футов. Такой класс будет называться нуль-классом и будет обозначаться символом «О». Понятие нуль-класса, несмотря на свою сложность для начинающих, имеет много технических преимуществ.

Существует три вида операций над классами, каждый из которых имеет собственное обозначение. Рассмотрим класс мужчин на универсуме людей. Исключив этот класс из указанного универсума, мы получим класс женщин. Индивиды, являющиеся членами универсума, но не являющиеся членами класса мужчин, будут обозначаться как «дополнение» к классу мужчин. Следовательно, женщины являются дополнением к классу мужчин на данном универсуме рассуждения. Класс и его дополнение исключают друг друга и исчерпывают универсум рассуждения. Если «а» представляет некий класс, то «не-a» представляет его отрицание.

Теперь рассмотрим два класса: английские книги и французские книги. Класс, содержащий английские или французские книги, называется логической суммой этих классов. Операция объединения классов подобным образом называется логическим сложением. Если а и Ь являются классами, то их логической суммой будет а + Ь. Читается это либо как «а плюс Ь», либо как «а или Ь». Данная дизъюнкция не является строгой. Символ «+» используется, поскольку логическое сложение обладает некоторыми формальными аналогиями по сравнению со сложением в обычной арифметике.

Далее рассмотрим класс профессоров и класс раздражительных людей. Предположим, мы хотим выбрать всех индивидов, которые являются членами обоих классов, чтобы получить класс раздражительных профессоров. Такая операция называется логическим умножением, а ее результат называется логическим произведением двух классов. Если а и Ь являются классами, то их произведение может быть обозначено как «а х b» или просто как «аЬ».

На данном этапе становится понятно, откуда берется идея нуль-класса. Мы полагаем, что, умножая классы, мы получаем классы. Логическим произведением классов женщин и водителей электровозов является класс женщин, являющихся водителями электровозов. Следовательно, этот класс будет классом, даже если в нем не будет ни одного члена.

До настоящего момента мы рассматривали операции над классами. Однако мы не сможем получить исчисления до тех пор, пока не предложим символическую запись для отношений между классами. Различие между операциями над классами и отношениями между классами заключается в том, что проведение операций над классами дает нам новые классы, а утверждение тех или иных отношений между классами дает суждения, а не классы. Основополагающим отношением мы будем рассматривать отношение включения в класс. Один класс будет считаться включенным в другой, если каждый член первого класса также является и членом второго. Если а и Ь являются классами, то суждение «а включен в Ь» мы будем обозначать как «а < Ь».

Отношение включения (<) является транзитивным и несимметричным, т. к. если а < b и Ь < с, то а < с. Но если а < b, то из этого еще не следует, что b < а. Мы можем определить равенство двух классов в терминах обоюдного включения. Класс а равен Ь, если а включен в Ь и Ь включен в а, т. е. если у них одни и те же члены. Символически это будет выглядеть так: (а = Ь) = (а < b). (Ь < а), где знак «=» обозначает равенство между классами, а знак «=» обозначает эквивалентность между суждениями, а точка («.») обозначает совместное утверждение двух суждений.

Принципы исчисления классов Чтобы начать исчисление, нужно установить ряд основополагающих принципов, которые будут совершенно недвусмысленно определять природу только что обсуждавшихся нами операций и отношений. Обычно предполагается следующий набор принципов.