Введение в логику и научный метод

Обратным отношением для много-однозначного отношения будет одно-многозначное отношение. Так, при истинности суждения «И. С. Бах является отцом И. X. Баха» И. С. Бах может находиться в этом отношении и к другим индивидам, помимо И. X. Баха, однако только один индивид может находиться в этом отношении к И. X. Баху.

Наконец, рассмотрим суждение «десять на единицу больше девяти». Есть только одно число, к которому «десять» [40] может находиться в этом отношении, и только одно число, которое может находиться в этом отношении к «девяти» [41] . Отношения, такие как «на единицу больше», называются однозначными и играют основополагающую роль в теории соотношений.

Связность

Четвертый принцип классификации учитывает то, существует ли определенное отношение между каждой парой из определенного набора или нет. Рассмотрим ряд целых чисел и отношение «быть больше, чем». Любые два целых числа находятся друг к другу в отношении «быть больше, чем» или в обратном ему отношении «быть меньше, чем». Только отношение с таким свойством считается связным. Отношение «больше на два, чем» не обладает связностью.

§ 3. Логические свойства отношений В УМОЗАКЛЮЧЕНИЯХ

Многие из умозаключений, рассмотренных нами в предыдущих главах, можно рассматривать как умозаключения, которые зависят от природы отношений включения или исключения классов. Мы кратко отметим то, почему логические свойства этих отношений, равно как и других отношений, важны для изучения обоснованного вывода.

1. Обращение категорических суждений зависит от симметричности или несимметричности отношения включения в класс (или исключения из него). Суждение «все пожарные являются физически развитыми» можно рассматривать как утверждающее, что класс пожарных включен в класс физически развитых людей. Это суждение нельзя попросту подвергнуть операции обращения, поскольку полное включение одного класса в другой является несимметричным отношением. Однако суждение «некоторые пожарные являются физически развитыми» можно подвергнуть обращению, поскольку частичное включение классов является симметричным отношением. Операция обращения также допустима и для суждения «ни один пожарный не является физически развитым человеком», т. к. полное исключение одного класса из другого является симметричным отношением.

2. Правильность категорических силлогизмов зависит от транзитивности отношения включения в класс. Рассмотрим силлогизм «все люди трусливы; все профессора суть люди; все профессора трусливы». Данное умозаключение можно рассматривать как утверждающее, что если класс людей включен в класс трусов и класс профессоров включен в класс людей, то класс профессоров включен в класс трусов. Данное отношение, безусловно, является транзитивным. Можно показать, что правильные силлогизмы в других модусах и фигурах зависят от такого же логического свойства связки.

Однако в силлогизмах, где одна из посылок является единичным суждением, требуется иной анализ. Рассмотрим следующий пример: «Все люди трусливы; Муссолини – человек; Муссолини труслив». В этом силлогизме утверждается, что если класс людей включен в класс трусов и если Муссолини является членом класса людей, то он является членом класса трусов. В меньшей посылке утверждается иной тип отношения, чем в большей, ибо отношение «являться членом» нетранзитивно (см. с. 89), тогда как отношение «быть включенным в» транзитивно. Правильность умозаключения в данном случае обусловлена модифицированной формой принципа dictum de omrti.

3. Все так называемые реляционные силлогизмы (силлогизмы a fortiori) зависят от транзитивности отношений. Так, в силлогизме «Джон старше, чем Том; Том старше, чем Генри; Джон старше, чем Генри» отношение «старше, чем» является транзитивным.

4. Теперь рассмотрим следующий сорит:

Все профессора красивы.

Все красивые люди состоят в браке.

Все состоящие в браке люди хорошо питаются.

∴ Все профессора хорошо питаются.

Наглядно видно, что основой для данного вывода является транзитивность отношения включения в класс. 5. Рассмотрим, наконец, чистый условный силлогизм:

Если пойдет дождь, то я возьму зонт.

Если я возьму зонт, я точно его потеряю.

∴ Если пойдет дождь, я точно потеряю зонт.