Введение в логику и научный метод

Является ли среднее арифметическое удовлетворительной основой для сравнения двух групп? Если средний доход некоторой общины равен $1500, а другой – $1100, то правильно ли на основании этого умозаключать, что члены первой общины состоятельнее членов второй? Нижеследующий пример призван показать, что подобное умозаключение может оказаться ложным, если среднему арифметическому не сопутствует дополнительная информация. Предположим, что в некотором классе студенты имеют в кармане следующие суммы денег: 8 студентов имеют по 50 центов, 4 – по 75 центов, 2 – по $1,50, 1 имеет $11 и 1 имеет $27. Среднее арифметическое для всего класса равняется $3. Предположим также, что в другом классе 9 студентов имеет по 1 доллару, 4 – по $1,50, 1 студент имеет $2 и 1 – $3. Среднее арифметическое для всего класса равняется $1,662/з. Несмотря на то что среднее арифметическое первого класса выше, в нем у 12 студентов (т. е. у 2/з всего класса) меньше денег, чем у любого студента из второго класса. Если мы проанализируем способ высчитывания среднего арифметического, то мы поймем, почему оно так часто является ненадежной основой для сравнений. Дело в том, что значение среднего арифметического подвержено серьезному влиянию сильных изменений в значениях отдельных членов рассматриваемого множества. В приведенном примере наличие в группе относительно небольшого числа очень богатых студентов может существенно повысить среднее арифметическое. Иными словами, две группы могут обладать одним и тем же средним арифметическим, но область изменения внутри этих групп может быть очень разной. Среднее арифметическое не сообщает ничего относительно однородности группы. Поэтому в статистике также требуется и измерение дисперсии.

Несмотря на этот недостаток, среднее арифметическое является важным средним числом в силу его математических свойств и простоты получения. Над ним можно проводить алгебраические манипуляции. Так, предположим, что некий студент получает в течение года следующие оценки по некоторому предмету: 80, 75, 95, 60, 70; среднее арифметическое равняется 74. Во второй год он получает 80, 70, 60, 75, 65, и среднее арифметическое равно 70. Каково среднее арифметическое его оценок за два года? Мы можем сложить десять полученных оценок и разделить результат на 10. Но мы также можем сложить и два средних арифметических и разделить их на 2. В результате мы получим среднюю оценку за два года, равную 72. Данное алгебраическое свойство среднего арифметического очень удобно.

Среднее арифметическое также связано с математической теорией вероятности. Предположим, некий химик проводит несколько сотен измерений веса кислорода. Каждое измерение дает разный результат. Каково «истинное значение» веса кислорода? Если мы примем ряд допущений о том, каким способом могут изменяться значения измерений, например, если мы допустим, что все измерения были проведены с одинаковой точностью, то наиболее вероятное значение веса кислорода будет представлять именно среднее арифметическое.

Среднее взвешенное

Во многих примерах использование среднего арифметического не поможет. Так, преподаватель может разделить на две части работу, рассчитанную на семестр. Он может вызывать некоторого студента к доске пять раз в течение первой половины семестра и поставить ему следующие оценки: 10, 9, 8, 10, 8. Во второй половине семестра он может вызвать его всего лишь дважды и поставить ему 0 и 4. Теперь предположим, что преподавателю нужно высчитать итоговую оценку, и для этого он высчитывает среднее арифметическое за первую половину семестра, которое равно 9, среднее арифметическое за вторую половину семестра, равное 2, а затем находит среднее арифметическое для двух половин. Итоговая оценка студента в таком случае будет равняться 5,5. Справедливо ли это? Если предположить, что работа, проделанная в первой половине семестра, является такой же важной и сложной, как работа, проделанная во второй половине, то студент будет прав, если посчитает такую оценку несправедливой. Он сможет требовать, чтобы средние оценки за каждую половину семестра взвешивались соответственно тому количеству раз, которые он выходил к доске. Тогда истинная итоговая оценка будет высчитываться следующим образом: