У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Целью Кантора было придать смысл идее кардинального числа, или количества членов, для бесконечных множеств. Но как можно говорить о количестве членов бесконечного множества? Можно ли что-то сказать, кроме очевидного факта того, что оно бесконечно? Кантор исходил из простой идеи: представим себе, что в большом зале много играющих детей и большое число стульев (рисунок 1), и нам хочется знать, равно ли их количество друг другу. Один из способов сделать это — это сосчитать детей по одному, сделать то же самое со стульями, а затем сравнить результаты.

РИС. 1

РИС. 2

Но есть более прямой способ осуществить это сравнение — попросить детей сесть по одному на каждый стул. Если не осталось ни одного пустого стула, мы можем сказать, что стульев ровно столько же, сколько и детей, то есть что кардинальные числа множества стульев и множества детей равны. В математической терминологии можно сказать, что мы установили биективное (взаимнооднозначное) соответствие между множествами (каждому ребенку соответствует один стул, а каждому стулу — один ребенок).

Итак, мы можем сказать, что у двух конечных множеств одно и то же кардинальное число, если можно установить биективное соответствие между ними. Идея Кантора заключалась в том, чтобы распространить это понятие на бесконечные множества, установив биективное соответствие между множествами в виде сравнения их кардинальных чисел.

На основе этой идеи Кантор определил, что два бесконечных множества имеют одно и то же кардинальное число, если можно установить между ними биективное соответствие, то есть если можно установить пары между их соответствующими членами так, чтобы каждому члену первого множества точно соответствовал один член второго, и наоборот.

В первой главе мы уже видели, что множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4,...) может иметь биективное соответствие с множеством квадратных чисел (1,4, 9, 16,...).

Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N (буква символизирует числа в целом как самостоятельный объект). А если к натуральным числам добавить их противоположные (то есть отрицательные числа -1, -2, -3, -4, ...), а также ноль, мы получим множество целых чисел, которое в математике обычно обозначается буквой Z — от первой буквы немецкого слова Zahl (число).

Кантор заметил, что у множества целых чисел то же самое кардинальное число, что и у N. Другими словами, существует столько же натуральных чисел, сколько и целых.

В соответствии между N и Z число 1 множества N образует пару с числом 0 множества Z; остальные нечетные числа множества N устанавливают пары с отрицательными числами множества Z; а четные числа множества N устанавливают пары с положительными числами множества Z. Заметим, что, как это и должно быть, каждому члену множества N соответствует один член множества Z, при этом нет ни одного отсутствующего или лишнего члена.

Натуральные числа — только часть целых; однако оба множества имеют, как это определил Кантор, "одно и то же количество элементов" (на математическом языке — у обоих множеств одно и то же кардинальное число). Как мы уже сказали в главе 1, аристотелевский принцип — "целое больше любой из его частей" — неприменим к бесконечным множествам.

ДИАГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД

Чтобы пойти еще дальше, необходимо кратко остановиться на очень распространенном способе представления чисел на числовой прямой.

Фрагмент числовой прямой с обозначенными на ней некоторыми целыми числами.

Числовая прямая — это прямая линия, которая превращается в числовую, когда мы назначаем числа ее точкам. Самый простой способ обозначить целые числа — назначить одной точке число 0, другой — 1. Когда они назначены, натуральные числа располагаются после 1, при этом сохраняется расстояние между соседними числами. Отрицательные числа расположены симметрично положительным относительно числа 0. Очевидно, что как только будут назначены все целые числа, будет еще много точек, не имеющих чисел. Например, 1/2 = 0,5 находится ровно посередине между 0 и 1; 4/3 = 1,333... — на трети пути между 1 и 2; √2 = 1,4142... — между 1 и 1,5 (намного ближе к 1,5, чем к 1); π = 3,1415... — немного дальше 3.

Множеством действительных чисел (которое обычно обозначается буквой R) называют множество, образованное числами, заполняющими всю числовую прямую. Каждой точке числовой прямой соответствует действительное число, и наоборот. Среди действительных чисел, конечно же, есть и целые, и упомянутые выше √2 или π, а также другие бесконечные числа, такие как 12,22222 или —2,01001000100001...