У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Предложение Рассела, которое получило название «логицизм», состояло в том, чтобы вернуться к работе Фреге, но перечислить ошибки, приведшие к кризису. Рассел говорил, что любой парадокс возникает от наличия самореференции. Например, знаменитый парадокс лжеца, который возникает, когда встает вопрос, является фраза «это предложение ложно» истинной или ложной. Он рождается из-за анализа фразы, в которой говорится о ней же. Сам парадокс Рассела возникает из вопроса о том, выполняет ли некое множество свойство, определяющее само множество.

Во избежание этих ситуаций логицизм предлагает радикальное изменение логического языка с помощью теории типов. Общая идея заключается в том, чтобы назначить языку математики строгую иерархию, в которой каждое утверждение может относиться только к сущностям или утверждениям, расположенным на более низких уровнях. Таким образом, сама структура языка избегает самореференций и, следовательно, парадоксов.

На нулевом уровне иерархии находятся индивиды; на уровне 1 — утверждения, в которых говорится об индивидах; на уровне 2 — утверждения, в которых говорится об утверждениях типа 1, и так далее. Например:

1, 2,3, 4,... (индивиды, тип 0);

«2 + 2 = 4» (утверждение типа 1, в котором говорится об индивидах);

«Верно, что 2 + 2 = 4» (утверждение типа 2, в котором говорится о предыдущем).

Однако по техническим причинам Рассел был вынужден усложнить свою стратификацию и ввести произвольные и неинтуитивные правила. Вследствие этого система потеряла убедительность, и Рассел в итоге оставил ее. Хотя некоторые элементы, введенные логицизмом, дошли до наших дней, к 1920 году влияние этой школы практически исчезло.

Второе решение стало известно как интуиционизм, или конструктивизм, и его лидером был нидерландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966).

Решение задач, которые до этого времени окружали математическую бесконечность, — возможно, самое большое из достижений, которыми может гордиться наша эпоха.

Бертран Рассел, 1910 год

Интуиционисты утверждали, что появление парадоксов напрямую обязано введению понятия актуальной бесконечности и это понятие, как утверждали еще Аристотель и Галилей, противоречиво само по себе. Вся теория Кантора не имеет смысла и должна быть оставлена, а математика — в том, что касается бесконечности, — должна вернуться к положению, существовавшему до 1870 года.

Основой математики должны быть натуральные числа и операции с ними — сложение и умножение. Эти числа не нуждаются в определении, поскольку понятие о них априори заложено в нашем сознании. Числа должны пониматься не как законченная бесконечная совокупность, а как результат непрерывного процесса (упомянутый ранее пример с народом), который начинался с числа 1 и продолжался неопределенное время за счет применения понятия последующего элемента (1 — первый элемент, 2 — элемент, следующий за 1, 3 — элемент, следующий за 2, и так далее).

Для утверждения о том, что существует математический объект, отличный от натуральных чисел, необходимо, чтобы его можно было построить за конечное число шагов на основе натуральных чисел с помощью строго определенной процедуры. Объекта, который невозможно построить таким образом, просто не существует. В некотором смысле интуиционисты возвращались к идее, содержащейся в сентенции Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека».

ЛЁЙТЗЕН ЭГБЕРТ ЯН БРАУЭР