Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Посвятив четверть века изучению бесконечностей, Кантор смог упорядочить их: словно на балу монстров, он расположил одну бесконечность за другой подобно тому, как упорядочены числа, а также описал, как можно складывать бесконечности, умножать их друг на друга, возводить в бесконечную степень и так далее. Кантору, конечно, не удалось полностью приручить бесконечность. Существуют величины, которые он назвал абсолютной бесконечностью. Они не поддавались никакому контролю со стороны математики, не говоря уже о логике. В 1883 году Кантор писал: «Абсолютное можно лишь распознать, но его невозможно познать, даже примерно». Бесконечность, которая интересовала Кантора, располагалась между конечным и абсолютным.

* * *

МНОЖЕСТВО ВСЕХ МНОЖЕСТВ И ДРУГИЕ ЧУДОВИЩА

Абсолютная бесконечность тесно связана с такими безграничными и невообразимыми понятиями, как, например, множество всех множеств или множество всех множеств, которые не принадлежат сами себе. Последнее «чудовище» — главный герой парадокса, сформулированного Бертраном Расселом в 1901 году: принадлежит ли самому себе множество всех множеств, которые не принадлежат сами себе? Если это множество принадлежит самому себе, то оно не будет образовано всеми множествами, которые не принадлежат сами себе. Если же оно не принадлежит самому себе, то, по определению, оно должно принадлежать самому себе.

Однако Кантор никогда не рассматривал подобные парадоксы, так как он всегда был убежден, что они не затрагивают множества и бесконечности, которые он изучал, — эти монструозные сущности, связанные с абсолютом, которые мы можем только распознать, но не познать.

Парадоксы, подобные описанным выше, возникли как результат наивного определения множества как произвольной совокупности объектов. Парадокс Рассела схож с еще одним парадоксом, опровергающим всемогущество Бога: может ли всемогущий Бог создать такой камень, который он сам не в силах будет поднять? Если он сможет создать такой камень, то не сможет поднять его и, следовательно, не будет всемогущим. Если же он не сможет создать такой камень, то вновь не будет всемогущим.

* * *

Кантор вышел победителем в схватке с бесконечностью, однако был тяжело ранен. Его исследования вызвали неприязнь части немецкого математического сообщества. Кантор хотел работать в Берлине или Геттингене, однако двери этих университетов оказались для него закрыты, и нет сомнений, что поводом для травли стала неприязнь со стороны влиятельных коллег. В 1879 году Кантор наконец получил должность преподавателя в небольшом университете Галле, где проработал всю оставшуюся жизнь.

Работы Кантора часто называли незначительными, не представляющими интереса, а когда его заслуги начали признавать, злые языки вложили в уста Анри Пуанкаре (1854–1912), одного из величайших математиков того времени, знаменитое изречение: «Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они вылечились». В конечном итоге на сцену вышло новое поколение математиков, которые воздали должное трудам Кантора, что привело к революции, навсегда изменившей математику. Кантор начал процесс абстрагирования, характерной чертой которого стало появление неконструктивных доказательств существования тех или иных объектов. Иными словами, после Кантора математики начали признавать существование тех или иных математических объектов, даже когда было неизвестно, как эти объекты можно построить. Кульминацией достижений Кантора стало создание теории множеств, которую Давид Гильберт, наиболее влиятельный математик того времени, назвал «раем для математиков».

Падение гения