Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Связь христианского Бога с бесконечностью помогла преодолеть древние страхи перед ужасным чудовищем, и бесконечность, как потенциальная, так и актуальная, в XVII веке окончательно расположилась в центре математики. Следуя заветам Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную бесконечность, но они перевели это понятие в область богословия. Фома Аквинский рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую, актуальную бесконечность, такая трактовка часто встречается и в трудах философов XVII века. Не будем забывать, что некоторые из них были учеными, в том числе математиками. Подтверждение мы находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога — вечного, бесконечного, всеведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также: «Что же до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего уже нельзя добавить»; у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное (ens absolute infinitum), т. е. субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность», и также у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная субстанция, неделимая, универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать всю реальность, какую только возможно».

Никакой запрет не мог покончить с чем-то действительно полезным. И никакое понятие не оказалось столь плодотворным для математики, как бесконечность, ни одно из них не сделало математику столь полезной для объяснения явлений природы: бесконечность — это основной элемент анализа бесконечно малых, а анализ бесконечно малых — несомненно, самое мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Еще один парадокс бесконечности: почему она, будучи не более чем продуктом логической структуры нашего мозга, играет столь важную роль в формировании научной картины окружающей нас Вселенной, если в этой Вселенной бесконечность подобна эмигранту без документов?

Несмотря на свою неоспоримую, пусть и непонятную, полезность, актуальная бесконечность по-прежнему пользуется дурной славой. Не самым лестным образом о ней отзывался даже так называемый король математиков. Великий Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное. Бесконечность — лишь манера выражаться, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».

И средневековые схоластики, в частности Фома Аквинский (ок. 1224–1274), и философы-рационалисты, в частности Рене Декарт (1596–1650), сталкивались с проблемой актуальной бесконечности.

Кантор и анархистская природа математики

Почти одновременно с тем, как Гаусс написал эти строки, родился Георг Кантор (1845–1918). Именно он смог подчинить себе бесконечность, укротив это страшное математическое чудовище.

Кантор начал с того, что сравнил различные бесконечные множества с числами, которые имелись в его распоряжении. Для сравнения бесконечных множеств он объединял элементы этих множеств в пары: если элементы двух множеств можно объединить попарно так, что ни один элемент не останется без пары, значит, число элементов этих множеств одинаково.

Кантору удалось объединить в пары натуральные и целые числа, натуральные и дробные числа. Вопреки доводам логики, согласно которым целое больше его части, рассуждения Кантора показывали, что натуральных чисел столько же, сколько и дробных.

Однако для выполнения расчетов с бесконечностью Кантору потребовались бесконечные множества разного размера. Первый важный результат был получен в конце 1873 года, когда Кантор обнаружил два бесконечных множества, элементы которых нельзя было объединить попарно. Точнее, ученый доказал, что натуральные числа нельзя объединить в пары с точками произвольного отрезка. Этот результат стал одним из самых революционных в истории математики. Для этого утверждения, сколь важного, столь и глубокого, Кантор в 1899 году нашел в высшей степени простое и элегантное доказательство. Этим доказательством, подобно картинам импрессионистов, можно полнее насладиться, зная его историю и необходимый контекст.

Кантор в 1894 году, в возрасте 49 лет, когда он пытался систематизировать теорию множеств.

Доказательство Кантора

Для простоты вместо точек отрезка рассмотрим все бесконечные последовательности вида 0, а₁, a₂, а₃, …, где каждая цифра 0, а₁, a₂, а₃, … имеет значение 0 или 1. Нетрудно видеть, что число различных последовательностей такого типа равно числу точек отрезка (однако доказательство этого утверждения будет носить несколько технический характер).