"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Glushkov A.V., Ambrosov S.V., Khetcelius O.Yu. Self-Leaning and thinking mashines approaches in modern education & science: Art-psychics and learning process results. –- OSEU, Odessa-2001.

McNamara B., Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance // Phys. Rev. A. – 1989. – Vol. 39. – P. 4854–4869.

Jung P. Threshold devices: Fractal noise and neural talk// Phys. Rev. E. – 1994. – Vol. 50. – P. 2513–2522.

Collins J., Chow C., Imhoff T. Aperiodic stochastic resonance in excitable systems // Phys. Rev. E. – 1995. – Vol. 52. – P. R3321–R3324.

Inchiosa M.E., Bulsara A.R. Non-linear dynamic elements with noisy sinusoidal forcing: Enhancing response via non-linear coupling // Phys. Rev. E. – 1995. – Vol. 52. – P. 327–339.

Gammaitoni L., Martinelli M., Pardi L. Observation of stochastic resonance in bistable electron-paramagnetic-resonance systems // Phys. Rev. Lett. – 1991. – Vol. 67. – P. 1799-1802.

Анищенко В.С., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН. – 1999. – Т. 169. – №1. – С. 7-38.

Амбросов С.В., Глушков А.В., Хецеліус О.Ю. Матеріали Всеукраїнської наук.-мет. конференції “Проблеми і шляхи удосконалення фундаменталізації і профілізації підготовки фахівців-випускників вищих технічних навчальних закладів”. – Київ, 2000.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ОБРАТНЫМИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

В.А. Гришина

г. Одесса, Одесский национальный политехнический

университет

Многолетний опыт работы с абитуриентами показывает, что тема «Обратные тригонометрические функции» излагается в школе зачастую поверхностно, а решению примеров уделяется мало внимания. В то же время на вступительных экзаменах в вузы такие примеры встречаются часто и, как правило, вызывают большие затруднения у абитуриентов. Перед изложением данной темы полезно кратко напомнить, что такое обратная функция, какими свойствами она обладает. Особенно нужно подчеркнуть то, что обратная функция может быть построена только на участке монотонности прямой функции. Именно поэтому в определениях обратных тригонометрических функций выбраны соответствующие интервалы для множества значений функций.

В самом начале изложения темы важно обратить внимание учащихся на то, что для обратных тригонометрических функций областью определения является числовое множество, а множество значений – углы в радианной или градусной мере. Для лучшего усвоения этого факта полезно сразу после того, как даны определения обратных тригонометрических функций решить примеры типа: вычислить arcsin(-0,5), arccos 1, arctg 0 и т.п. Обычно, учащимся требуется некоторое время, чтобы уверенно отвечать на эти вопросы. Определенные затруднения вызывают, обычно, соотношения вида: arcsin(sin)=, если 2; 2 и т.д. Помогает справиться с этим решение примеров типа: вычислить arcsin(sin(73)), arccos(cos(-5)).

Графики и свойства обратных тригонометрических функций методически удобно рассматривать парами: y=arcsin xи y=arctg  x, а потом – y=arccos xи y=arcctg x, так как многие свойства у этих пар функций одинаковы или близки. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что специфика решения примеров с обратными тригонометрическими функциями такова, что потребует от них знания и использования свойств обратных тригонометрических функций, особенно таких, как область определения, множество значений, возрастание (убывание), интервалы знакопостоянства, четность (нечетность). Например, решим такой пример:

Вычислить arcsin + arcsin + arcsin .

Обычно, учащиеся, даже наиболее подготовленные, решают его неверно. Типичный путь решения такой:

находят sin(arcsin + arcsin + arcsin );

в ходе довольно громоздких вычислений получают, что

sin(arcsin + arcsin + arcsin )=1,

из чего учащийся сразу же делает вывод, что

arcsin + arcsin + arcsin =.

Но такое решение не может быть признано правильным, так как из того, что sin sin не следует, что = .

sin sin =(–1) ⁿ n, n Z.

Поэтому, чтобы найти (arcsin + arcsin + arcsin ), нужно оценить, в каком интервале лежит этот угол. Верное продолжение решения должно быть примерно таким:

sin =1 + 2 n, nZ.

0 0 arcsin , (1)

так как функция y =arcsin xмонотонно возрастает.

Аналогично, 0 0arcsin , (2)

0 0 arcsin . (3)

Складывая неравенства одинакового смысла (1), (2), (3), получаем верное неравенство:

0 arcsin + arcsin + arcsin .

Из углов + 2 n, nZ, только один угол при n=0 = (0; ).

Значит, arcsin + arcsin + arcsin .

Удачный методический прием, позволяющий перейти от решения примера с обратными тригонометрическими функциями к решению с «обычными» тригонометрическими функциями можно проиллюстрировать на задании вида:

Вычислить tg (arcsin ).

Решение.

Пусть arcsin = , тогда sin = , ( 0;) .

Теперь задача сводится к тому, что нужно, зная sin , найти tg . По формуле для тангенса половинного угла tg = =, где cos =, так как ( 0;), cos 0. Получаем tg = tg (arcsin )=.