Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Существует много способов сделать это. Вопрос в том, какой из них лучше? Иными словами, существует ли такой способ, который будет безотказно работать во всех возможных случаях и никогда не приведет к возникновению узлов или перекручиваний? Можно ли найти этот универсальный способ, не прибегая к методу проб и ошибок? Узнать все это можно в рамках геометрического анализа, который позволяет, исходя из геометрии произвольной кривой (в нашем случае резинки), сделать выводы о способах ее преобразования в окружность. Этот процесс не должен быть произвольным. Строго определенный или — еще лучше — канонический путь превращения нашей кривой в окружность однозначно определяется ее геометрией. Для математиков слово канонический является синонимом слова «единственно верный», что, впрочем, иногда звучит излишне строго. Представим себе, что мы хотели бы попасть с Северного полюса на Южный. Существует бесконечно много меридианов, соединяющих эти точки. Каждый из меридианов будет кратчайшим путем, но ни один из них не будет единственно верным; вместо этого мы называем такие пути каноническими.

Те же вопросы остаются актуальными и в случае более высоких размерностей. Вместо окружности и резинки теперь можно сравнить сферу или полностью надутый баскетбольный мяч со сдутым баскетбольным мячом с разнообразными углублениями и выступами. Задача состоит в том, чтобы превратить сдутый баскетбольный мяч в идеальную сферу. Конечно, для этого лучше всего использовать насос, но можно и математику. Математическим аналогом насоса в геометрическом анализе является дифференциальное уравнение, служащее движущим механизмом процесса преобразования формы путем крошечных непрерывных изменений. Стоит только определиться с начальной ситуацией (геометрией сдутого мяча) и найти подходящее дифференциальное уравнение — и задача будет решена.

Самым тяжелым во всем этом является нахождение подходящего для данного случая дифференциального уравнения, равно как и выяснение, существует ли в принципе уравнение, подходящее для данной задачи. К счастью, Морри и другие математики создали немало инструментов для анализа дифференциальных уравнений, при помощи которых можно узнать, имеет ли решение задача, с которой мы столкнулись, и, если да, то является ли это решение единственным.

Описанный выше тип задач принадлежит к категории задач, известных как геометрический поток. Подобные задачи в последнее время привлекли достаточно большое внимание по причине их использования в доказательстве сформулированной сто лет назад гипотезы Пуанкаре, о которой еще пойдет речь в этой главе. При этом, однако, необходимо отметить, что задачи данного типа составляют лишь часть круга исследований геометрического анализа, который охватывает гораздо большую область возможных применений.

Говорят, что, для того кто держит в руке молоток, любая проблема кажется гвоздем. Загвоздка лишь в том, как правильно определить направление «удара», необходимое для того, чтобы разрешить ту или иную задачу. Так, одним из важных классов задач, для решения которых используется геометрический анализ, является исследование минимальных поверхностей. Для таких гвоздей геометрический анализ порой является идеальным молотком.

Рис. 3.4. Кратчайшее расстояние между точками А и В проходит по дуге большого круга, который в данном случае совпадает с экватором, через точку Р. Этот путь носит название геодезической линии. Путь из А в В через точку Q также называется геодезической линией, хотя он и не соответствует кратчайшему расстоянию между точками. Однако он является кратчайшим по сравнению с другими путями, лежащими в непосредственной близости от него

Рис. 3.5. Жозеф Плато выдвинул гипотезу, согласно которой для любой простой замкнутой кривой можно найти минимальную поверхность — иными словами, поверхность минимально возможной площади, ограниченную данной кривой. Минимальной поверхностью, натянутой на замкнутую кривую, показанную жирной линией, в данном случае является так называемая поверхность Эннепера, названная в честь немецкого математика Альфреда Эннепера. (Изображение предоставлено Джоном Ф. Опреа)

Любой человек неоднократно сталкивался с минимальными поверхностями. При погружении пластмассового кольца из набора для пускания пузырей в сосуд с мыльной водой действие поверхностного натяжения приводит к тому, что образующаяся мыльная пленка принимает совершенно плоскую форму, стремясь иметь минимальную возможную площадь. Выражаясь математическим языком, минимальная поверхность является наименьшей по площади из всех поверхностей, которые можно натянуть на заданный замкнутый контур.