Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Наряду с Николаем Лобачевским и Яношем Бойяи Гаусс внес большой вклад в наше понимание абстрактного пространства, в частности для двухмерного случая, хотя он сам признавал наличие определенной путаницы в этой области. И все же, в конечном итоге, ни Гаусс, ни его коллеги не сумели полностью освободить наши представления о пространстве от евклидовых рамок. Гаусс выразил свое замешательство в письме, написанном им в 1817 году астроному Генриху Вильгельму Маттеусу Ольберсу: «Я все больше убеждаюсь, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере, человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в следующей жизни мы придем к взглядам на природу пространства, которые нам сейчас недоступны».[18]

Некоторые ответы были получены не в «следующей жизни», как написал Гаусс, а в следующем поколении благодаря усилиям и прекрасным способностям его студента Георга Фридриха Бернхарда Римана. Риман отличался слабым здоровьем и умер молодым, но за сорок лет своей жизни он смог перевернуть существовавшие представления о геометрии, а вместе с ними и представления о Вселенной. Риман ввел особую разновидность поля — набор чисел, соответствующий каждой точке пространства, пользуясь которым можно найти расстояние между двумя точками вдоль любой линии, которая их соединяет. Полученная информация, в свою очередь, может быть использована для определения степени искривленности пространства.

Проще всего мерить пространство в одном измерении. Все, что необходимо для измерения, например, прямой линии, — это линейка. Для двухмерного пространства, такого как пол большого танцевального зала, мы обычно берем две перпендикулярные линейки — одна из которых сопоставляется оси x, а вторая — оси y — и находим расстояние между двумя точками путем построения прямоугольного треугольника и применения теоремы Пифагора. В свою очередь, в трех измерениях нам необходимы три перпендикулярные линейки, соответствующие осям x, y и z.

В искривленных, неевклидовых пространствах все становится сложнее и интереснее, поскольку точно откалиброванные перпендикулярные линейки для измерения искривленного пространства уже не пригодны. Однако в этом случае для расчета расстояний мы можем использовать риманову геометрию. Подход, который мы применяем для расчета длины кривой, лежащей на искривленном многообразии, вам уже знаком: кривую представляют в виде ломаной, состоящей из касательных бесконечно малой длины, и затем берут интеграл вдоль всей линии, чтобы получить полную длину.

Сложность этого подхода обусловлена тем, что в искривленном пространстве длина каждого отрезка ломаной может изменяться при перемещении от одной точки многообразия к другой. Для того чтобы преодолеть эту трудность, Риман создал инструмент, известный как метрический тензор, дающий алгоритм для расчета длины отрезка касательной в каждой точке. В двух измерениях метрический тензор представляет собой матрицу 2×2, в n измерениях — матрицу n×n. Следует отметить, что этот новый подход к измерению, несмотря на всю важность нововведений Римана, по-прежнему основан на теореме Пифагора, только переформулированной для неевклидового пространства.

Пространство, наделенное римановой метрикой, носит название риманова многообразия. Вооружившись метрикой, мы можем измерить длину любой кривой, принадлежащей многообразию произвольной размерности. Впрочем, мы не ограничены возможностью измерения длин кривых — таким же способом мы можем измерять и площади поверхностей в подобных пространствах, причем понятие «поверхность» в этом случае не ограничено привычными нам двумя измерениями.

Изобретя понятие метрики, Риман показал, что пространству, имевшему до этого весьма неясное определение, можно строго приписать определенную геометрию, кривизну же лучше представлять не в виде расплывчатого понятия, а в виде точных чисел, соответствующих различным точкам пространства. И этот подход, как показал Риман, применим к пространствам любой размерности.