Тайны чисел: Математическая одиссея

Подумайте, как делается пакетик с чипсами. Цилиндрическая трубка запечатывается швом снизу, наполняется чипсами, а затем сверху делается шов в том же направлении. Но посмотрите, что будет, если шов наверху делать не в том же направлении, а сначала повернуть пакетик на 90° и лишь потом запечатывать его. Неожиданно у вас в руках оказывается упаковка в виде тетраэдра. У тетраэдра шесть ребер: два из них совпадают со швами и четыре соединяют два шва, от конца каждого шва идут по два ребра к каждому из концов противоположного шва. Это замечательно эффективный способ изготовления пирамидок. Замените чипсы чаем, запечатывайте упаковку с поворотом, и у вас получатся пирамидальные чайные пакетики. Не будет лишнего расходования материала, а машина может запечатывать их со скоростью 2000 штук в минуту, достаточно быстро, чтобы удовлетворить спрос нации любителей чая. Эта машина была настолько инновационной, что попала в топ-лист 100 патентов, зарегистрированных в XX в.

После четырех лет разработки производство пирамидальных чайных пакетиков было запущено в 1996 г. Оно оказалось эффективным, а потребители сочли новую форму современной и стильной. Новая рекламная кампания оказалась долгожданной заменой труппы одетых обезьян, на которых PG Tips полагалась на протяжении ряда лет для поддержки своей продукции. Компания возвратила себе первое место по продажам чая в пакетиках.

Но в то время как тетраэдры позволили подчеркнуть вкус чая, за обликом другого Платонова тела скрывается нечто зловещее.

Почему вы можете умереть, если подхватите икосаэдр

В 1918 г. пандемия «испанского гриппа» погубила не менее 50 миллионов человек, что значительно превосходило число жертв Первой мировой войны. Из-за смертельных последствий многие ученые поставили перед собой задачу определить механизм данного опасного заболевания. Вскоре они поняли, что причиной были не бактерии, а нечто меньшее, недоступное для наблюдения в микроскопы того времени. Они назвали новых переносчиков «вирусами» – от латинского слова virus, обозначающего яд.

Раскрытие истинной природы вирусов стало возможно позднее, когда была разработана новая методика исследований, называемая рентгеновской дифрактометрией. Она позволила ученым разглядеть молекулярную структуру, лежащую в основе этих организмов, которые нанесли такой урон. Молекулу можно представить как набор шариков для пинг-понга, соединенных между собой палочками. Хотя это и является чрезмерным упрощением настоящей науки, в каждой химической лаборатории имеются коллекции шариков и палочек, чтобы помочь студентам и научным сотрудникам исследовать структуру молекулярного мира. Когда пучок рентгеновских лучей проходит через исследуемое вещество, то часть лучей рассеивается встреченными молекулами на различные углы. Это явление называется дифракцией рентгеновских лучей. Получающиеся изображения в чем-то схожи с тенями, которые образуются, если осветить упомянутые структуры из шариков и палочек.

Математика стала могучим союзником в сражении за расшифровку информации, содержащейся в этих тенях. Цель состоит в том, чтобы определить, какие трехмерные формы могли дать двумерные тени, полученные при рентгеновской дифракции. Довольно часто успех связан с нахождением оптимального угла, под которым нужно направить свет, чтобы раскрыть истинное молекулярное строение. Силуэт головы, получающийся, если кому-то направить свет прямо в лицо, содержит мало информации, разве что покажет, насколько торчат уши. Но профиль позволит сказать значительно больше. То же самое касается и молекул.

После того как Фрэнсис Крик и Джеймс Уотсон открыли структуру ДНК, они совместно с Дональдом Каспаром и Аароном Клугом обратили внимание на двумерные картинки, получающиеся при дифракции рентгеновских лучей на вирусах. К своему удивлению, они увидели изображения, полные симметрии. На первых картинках были видны точки, упорядоченные в треугольники. Это подразумевало, что у вирусов была трехмерная форма, которая переходит в себя при повороте на треть полного оборота: значит, имелась симметрия. Когда биологи заглянули в математический кабинет теней, они решили, что Платоновы тела были наилучшими кандидатами на форму вирусов.

Воображая формы

Представьте, что на рождественской елке висит украшение в форме кубика, причем веревочка прикреплена к одному из его углов. Если вы разрежете куб горизонтально между верхней и нижними точками, то получите два тела, у каждого из которых будет новая грань. Какова форма новой грани? Ответ приведен в конце главы.