Та самая хулиномика: Еще забористее. Издатая версия

20.5. Биномиальная модель оценки опционов

Поговорим о ценообразовании. Основная формула для оценки опционов – это уравнение Блэка – Шоулза. Но перед этим надо понять, как она вообще появилась.

Расскажу простую историю, чтобы вы интуитивно все поняли. Чтобы максимально все упростить, мы переедем в мир, где у акции есть всего две цены. Это будет биномиальный мир. Пусть у нас есть всего два варианта стоимости акции: дешево и дорого, ок?

И ВРЕМЯ У НАС ТОЖЕ ПРЕДЕЛЬНО УПРОЩЕНО – ЕСТЬТОЛЬКО ДВА ДНЯ, СЕГОДНЯИ ЗАВТРА – ДЕНЬ ЭКСПИРАЦИИ. БУДЕТ ЦЕНА НА АКЦИЮ, И ОНА МОЖЕТ ПОЙТИЛИБО ВВЕРХ, ЛИБО ВНИЗ.

Теперь рассмотрим портфель из акции и опциона. Я куплю ровно столько акций, сколько продам (выпишу) коллов на нее. Если цена завтра сходит вверх, опцион у его покупателя окажется в деньгах, и он его реализует. Исполняя этот опцион, я отдам покупателю купленные акции. При этом я ничего не теряю (я же их купил еще по сегодняшней цене), а зарабатываю на цене опциона.

Если цена пойдет вниз, покупатель его реализовывать не будет. У меня на руках останутся акции, которые я купил сегодня задорого, и которые подешевели. То есть я заработаю цену проданных опционов, но мои акции упадут.

При этом я собрал портфель, у которого нулевой риск. Если у меня акций столько же, сколько я продал опционов, тогда никакого риска нет – по исполненным опционам я отдам контрагенту свои акции. Если у портфеля нет риска, то приносить он должен как раз безрисковую ставку доходности. Это все равно что безрисковое вложение. Тогда можно подставить в уравнение все, кроме цены колла, и найти ее.

Это следствие того, что формула получается из безарбитражных условий. Арбитраж (в финансах) означает возможность заработать без риска. Например, продать акции Тинькова в Лондоне по 8 долларов, продать доллары по 60 рублей, и в тот же день купить те же акции в Москве по 470 рублей. Если у нас есть счета и там, и там, нам все равно, где хранятся акции, и если такая возможность реально найдется, с каждой акции мы получаем безрисковые 10 рублей (60×8-470), тогда как акции остаются у нас в портфеле. Арбитраж намекает на то, что нельзя заработать больше безрисковой ставки, не беря на себя риск.

Если бы это было возможно – представим, что безрисковая ставка у нас 5 %, а тут нашлась возможность заработать 6 % годовых, тогда я займу под 5 % и вложу все в шестипроцентную тему. И я буду так делать до скончания веков. Это слишком жирная возможность обогатиться, чтоб ее упускать. И один из самых мощных выводов теоретических финансов заключается в том, что ни одна возможность арбитража не держится сколь-нибудь долго.

Это все равно что сказать, что на тротуаре обычно не валяются купюры в 1000 рублей. Идешь по Тверской – там косарик в луже лежит. Думаешь – ну, наверное, это какой-то подвох. Кто-то бы точно подобрал! У американских африканцев даже игра есть такая – пять баксов привязывают к леске и дергают, как только кто-то за ними потянется. Но это я не из-за расизма, а проиллюстрировать, что деньги обычно на дороге не валяются.

Это означает, что, если цена на опцион не следует формуле, на рынке что-то не так. Интересно, что нам не нужна вероятность падения или роста рынка, чтобы оценить наш опцион. Кто-то скажет: погодите, у меня тут интуиция и я хочу купить опцион, потому что он может принести деньги. Когда речь шла о котировках из газеты, там за 45 центов можно было купить опцион колл со страйком 25 – дешево, потому что вряд ли цена акции уйдет так сильно выше, она же сейчас стоит всего $21,85. Кажется, что опцион должен быть фундаментально привязан к вероятности попасть в деньги, но это не так. Никакой вероятности тут не зашито. Факт в том, что не нужно знать вероятность попадания опциона в деньги, чтобы выставить на него цену, потому что ее можно определить исходя из безрисковых условий. Это, пожалуй, контринтуитивно, зато интересно.

20.6. Зачем ставить Блэка и Шоулза раком?

Эти рассуждения приводят к знаменитой формуле опционов Блэка – Шоулза. Ее придумали в семидесятых годах Фишер (что за имя – Фишер?!) Блэк и Майрон Шоулз. Блэк уже умер, а Шоулз вполне себе здравствует и даже получил Нобелевку (сразу за двоих). Они вообще, эти придумщики, страсть какие живучие.

Приводить ее здесь нет большого смысла, но факт в том, что, имея цену акции, время до истечения опциона, ставку, цену исполнения, волатильность (квадратный корень из дисперсии) акции, можно посчитать цену опциона.

Давайте-таки попробуем оценить опционы по модели Блэка – Шоулза. Формула происходит из отсутствия возможностей арбитража и не включает в себя вероятность. Но у нее есть сигма – стандартное отклонение изменений цены базового актива (акции) и кое-что еще – предположение, что изменения цен распределены нормально, то есть по гауссиане.