Структура реальности. Наука параллельных вселенных

Но какими правилами вывода нам следует пользоваться? Это всё равно что спросить, как следует запрограммировать генератор виртуальной реальности для воспроизведения мира евклидовой геометрии. Ответ в том, что нужно использовать те правила вывода, которые, в соответствии с нашим наилучшим пониманием, заставят наши символы вести себя в соответствующих отношениях как абстрактные сущности, которые они обозначают. Как нам удостовериться, что они ведут себя именно так? Это невозможно. Предположим, что некоторые критики возражают против наших правил вывода, считая, что наши символы будут вести себя отлично от абстрактных сущностей. Мы не можем ни взывать к авторитету Аристотеля или Платона, ни доказать, что наши правила вывода безошибочны (в отличие от теоремы Гёделя, это привело бы к бесконечному регрессу, ибо сначала нам пришлось бы доказать обоснованность самого используемого нами метода доказательства). Не можем мы и надменно сказать критикам, что у них что-то не в порядке с интуицией, лишь опираясь на нашу интуицию, которая говорит, что символы будут копировать абстрактные сущности в совершенстве. Всё, что мы можем сделать, — это объяснить. Следует объяснить, почему мы думаем, что при определённых обстоятельствах символы будут вести себя желаемым образом в соответствии с предложенными нами правилами. А критики могут объяснить, почему они предпочитают теорию, конкурирующую с нашей. Несогласие относительно двух таких теорий — это отчасти расхождение во мнениях относительно наблюдаемого поведения физических объектов. С такого рода расхождениями можно работать обычными научными методами. Иногда противоречия легко разрешимы, а иногда — нет. Другой причиной подобного расхождения может стать концептуальный конфликт относительно природы самих абстрактных сущностей. И вновь дело за конкурирующими объяснениями, на этот раз объяснениями не физических объектов, а абстракций. Либо мы придём к общему пониманию со своими критиками, либо согласимся, что говорим о двух различных абстрактных объектах, либо вообще не придём к согласию. Нет никаких гарантий. Таким образом, в противоположность традиционному убеждению, споры в математике не всегда можно разрешить с помощью чисто процедурных средств.

На первый взгляд традиционное символьное доказательство кажется радикально отличным от «практического» доказательства в виртуальной реальности. Но теперь мы видим, что они соотносятся друг с другом так же, как вычисления с физическими экспериментами. Любой физический эксперимент можно рассматривать как вычисление, и любое вычисление есть физический эксперимент. В обоих видах доказательства физическими сущностями (независимо от того, находятся они в виртуальной реальности или нет) манипулируют в соответствии с правилами. В обоих случаях физические сущности представляют интересующие нас абстрактные сущности. И в обоих случаях надёжность доказательства зависит от истинности теории о том, что физические и абстрактные сущности действительно имеют соответствующие общие свойства.

Из приведённого рассуждения также видно, что доказательство — это физический процесс. В действительности доказательство — это разновидность вычисления. «Доказать» утверждение — значит осуществить вычисление, которое, будучи выполненным правильно, устанавливает истинность высказывания. Используя слово «доказательство» для обозначения объекта, например, текста, написанного чернилами на бумаге, мы имеем в виду, что этот объект можно использовать в качестве программы для воссоздания вычисления соответствующего вида.

Следовательно, ни математические теоремы, ни процесс математического доказательства, ни опыт математической интуиции не дают нам полной уверенности, и ничто её не даёт. Наше математическое знание, так же как и наше научное знание, может быть глубоким и широким, может быть утончённым и поразительным по своей объяснительной силе, может быть принятым без разногласий; но оно не может быть абсолютно достоверным. Никто не может гарантировать, что в доказательстве, которое ранее считалось корректным, однажды не обнаружат глубокое недоразумение, казавшееся естественным из-за ранее несомненного «самоочевидного» допущения о физическом мире, об абстрактном мире или о том, как взаимосвязаны некоторые физические и абстрактные сущности.