Шаги за горизонт

Примерно в то же время, в конце мая или в начале июня, мне пришлось попросить у Борна двухнедельный отпуск, поскольку я заболел очень неприятной формой сенной лихорадки и хотел дождаться выздоровления на уединенном острове Гельголанд вдали от цветущих лугов. Там я смог без всяких внешних помех уйти с головой в свою проблему. Я заменил пространственные координаты таблицей амплитуд, которая предположительно должна была соответствовать классическому ряду Фурье, и написал для нее классическое уравнение движения, причем в нелинейном члене, выражавшем ангармоничность, применил умножение амплитудных рядов, оправдавшее себя в дисперсионной теории. Лишь гораздо позднее я узнал от Борна, что речь тут шла просто о матричном умножении — разделе математики, остававшемся мне до того времени неизвестным. Меня беспокоило то, что при такого рода умножении рядов a x b не обязательно оказывалось равным b x а. При таком уравнении движения таблицы, выражавшие пространственное местоположение, не достигали еще однозначной определенности. Предстояло еще найти замену для квантового условия Бора — Зоммерфельда, ибо в нем применялось понятие электронных орбит, которое я намеренно сделал для себя запретным. Но отвечающее принципу соответствия преобразование вскоре привело меня к известному мне по Копенгагену правилу сумм, которое Томас и Кун вывели из дисперсионной теории[16]. Тем самым вроде бы вся математическая схема обретала законченный вид, и теперь оставалось исследовать, поддается ли она механической интерпретации. Для этого требовалось показать, что существует выражение для энергии, которое можно представить через таблицы координат и которое по принципу соответствия связано с классической формулой энергии; что это выражение постоянно во времени, то есть что закон сохранения энергии не нарушается; и что соответственно таблицы, выражающие энергию, представляют собою то, что мы сегодня называем диагональной матрицей. Наконец, предстояло доказать, что разности энергетических уровней различных атомных состояний с точностью до множителя h, то есть постоянной Планка, соответствуют частоте излучения, испускаемого при переходах. Таким образом, надо было удовлетворить сразу многим условиям; расчеты были элементарными, но именно поэтому довольно громоздкими. В конце концов оказалось, что все условия удовлетворены, что можно тем самым уверенно говорить о создании основ квантовой механики. По возвращении в Геттинген я показал работу Борну, который нашел ее интересной, но несколько странной; странной потому, что понятие электронных орбит было полностью элиминировано. Он все равно послал ее для публикации в физический журнал. Борн и Йордан углубились в математические выводы из работы, на этот раз без меня, потому что Эренфест и Фаулер пригласили меня прочесть доклады в Голландии и в английском Кембридже. Буквально за несколько дней Борн и Йордан отыскали решающее соотношение pq — qp = 2πi/h, благодаря которому вся математическая схема стала сразу прозрачной; теперь можно было легко и изящно выводить такие важные законы, как закон сохранения энергии[17].

К моему возвращению из Англии в сентябре в Копенгаген уже была, как мне помнится, написана работа Борна — Йордана, содержащая убедительное математическое обоснование квантовой механики. Немного позднее, кажется где-то в конце октября, когда я снова был в Геттингене, я получил от Дирака из Кембриджа письмо, где он сообщал мне свою форму квантовой механики, построенную на основе моих кембриджских сообщений. Он не применял матричного исчисления, а вводил для динамических переменных р и q особую алгебру, в которой решающую роль играли, естественно, перестановочные отношения[18]. Сразу было видно, что формулировка Дирака эквивалентна методу Борна — Йордана. Мы могли уже считать, что стоим со своей новой механикой на сравнительно надежном математическом основании, и решили втроем, то есть Бори, Йордан и я, написать подробную работу, в которой мы должны были рассмотреть системы со многими степенями свободы, теорию квантовомеханических возмущений и связь всего этого с теорией излучения. В этой работе нам в полной мере пригодилась математическая традиция Геттингенского университета. Борн был не только прекрасно знаком с математической теорией матриц, он знал также Гильбертову теорию интегральных уравнений и квадратичных форм бесконечного числа переменных. Он смог соответственно показать, что анализ квантовомеханической системы сводится к преобразованию бесконечных квадратичных форм относительно главной оси. Отсюда можно было легко вывести и теорию возмущений. Проведенные Йорданом расчеты явлений пульсации ясно показали прерывный характер квантовых переходов.