SETI: Поиск Внеземного Разума

Мы уже неоднократно встречались с экспонентой на страницах этой книги. Познакомимся с ней немного подробней.

Пусть некий показатель изменяется со временем экспоненциально:

Q(t) = Q₀e^αr. (5.1)

В этом выражении е — основание натуральных логарифмов, константа, равная 2,71828..., α — постоянная величина, имеющая размерность t^-1, Q₀ — значение величины Q в начальный момент времени t = 0. В дифференциальной форме экспоненциальный закон роста имеет вид

dQ = aQdt. (5.2)

То есть абсолютное приращение dQ величины Q за малое время dt пропорционально значению этой величины Q(t) в рассматриваемый момент времени. Относительное приращение dQ/Q = α dt; при dt = 1 dQ/Q = α. Следовательно, α представляет собой относительное приращение Q в единицу времени. Величина а часто выражается в процентах, это может быть годовой прирост производства угля, нефти и т. д. Если α << 1 (но только в этом случае!), вместо выражения (5.1) можно использовать формулу сложных процентов:

Q(t) = Q₀(1 + α)^t. (5-3)

Важной характеристикой экспоненты является период удвоения. Это время, в течение которого экспоненциально возрастающая величина увеличивается вдвое. Период удвоения τ связан с относительным приращением α: