Разум, машины и математика

ЛИНЕЙНАЯ НЕРАЗДЕЛИМОСТЬ

Рассмотрим ситуацию, когда выборки могут принадлежать к одной из двух категорий, каждая из которых описывается двумя дескрипторами (следовательно, двумя входными значениями).

Нарисуем график для восьми выборок.

На этом графике кругами белого цвета отмечены выборки категории А, черными — выборки категории В. Нетрудно провести линию, разделяющую категории, — именно эту операцию проводит перцептрон при корректировке порогового значения и весов входных значений. Но что произойдет, если мы рассмотрим синтетическую задачу, предметом которой является операция XOR? XOR — это логическая операция, соответствующая исключающему «или», которая описывается следующим соотношением:

Теперь график будет выглядеть так:

Теперь уже нельзя провести линию, отделяющую белые круги от черных, следовательно, эта задача является линейно неразделимой. Перцептрон нельзя корректно обучить для решения такой простой логической задачи, как задача XOR.

* * *

Решение проблемы линейной неразделимости было найдено в конце 80-х годов.

Оно было столь очевидным и естественным, что даже странно, почему никто не додумался до него раньше. Решение нашла сама природа еще несколько миллионов лет назад: достаточно связать между собой различные перцептроны, сформировав так называемую нейронную сеть.

На следующем рисунке изображена нейронная сеть, состоящая из трех слоев нейронов: первый слой — входной, второй — скрытый, третий и последний — выходной. Эта нейронная сеть называется сетью прямого распространения, так как поток данных в ней всегда направлен слева направо, а синапсы не образуют циклов.

Нейронная сеть может быть сколь угодно сложной, иметь произвольное число скрытых слоев и, кроме того, содержать связи, которые идут в обратном направлении и тем самым моделируют некую разновидность памяти. Ученые построили нейронные сети, содержащие до 300 тысяч нейронов — столько, сколько содержит нервная система земляного червя.

В нейронной сети процесс обучения усложняется, поэтому инженеры разработали множество методов обучения. Один из самых простых — метод обратного распространения ошибки, давший название отдельной разновидности нейронных сетей, в которой он используется. Суть этого метода состоит в снижении ошибки выходного значения нейронной сети путем корректировки весов входных значений синапсов в направлении справа налево по методу градиентного спуска. Иными словами, сначала весам всех синапсов нейронной сети присваиваются произвольные значения, после чего на вход сети подается выборка, выходное значение для которой известно (такая выборка называется обучающей). Как и следовало ожидать, в этом случае выходное значение будет случайным. Далее, начиная с нейронов, близких к выходу, и заканчивая нейронами входного слоя, начинается корректировка весов связей.

Цель этой корректировки — приблизить выходное значение нейронной сети к реальному известному значению.

Эта процедура повторяется несколько сотен или тысяч раз для всех обучающих выборок. Когда обучение для всех выборок завершено, говорят, что прошла эпоха обучения. Далее процесс обучения может быть повторен на протяжении еще одной эпохи для тех же обучающих выборок. Как правило, при обучении рассматривается несколько десятков выборок. Этот процесс подобен реальному обучению, когда человек вновь и вновь видит одни и те же данные.

* * *