Пути в незнаемое

Длительное время казалось, что наука навсегда связала себя с поиском числа — измерением. Оказывается, это не так. В мире есть формы порядка, глубоко чуждые числовому; и все же они доступны точному анализу — это доказывает топология. И они важнее числового. В частности, потому, что вопрос «как понять?» здесь уже не подменишь привычным «как измерить?».

«Я мог бы замкнуться в ореховой скорлупе и считать себя властелином бесконечного пространства… — признавался принц Датский. — Если бы мне не снились дурные сны». Но беспокойные сны нетрудно перенести. А вот когда, по слову того же Гамлета, «рвется связь времен» — это уже трагедия.

И принц прав. Если бы вселенная сжалась до размеров грецкого ореха или ускорила все свои процессы в произвольное число раз, то никакими измерениями этого не удалось бы обнаружить. Оставалось бы положиться разве что на свои сны.

Но допустим, что где-то в пространственных или временных связях нашего мира нарушилось топологическое свойство непрерывности: в окрестностях «здесь» или «теперь» затаились разрывы. Тогда такие путешествия во времени, как появление в «Гамлете» Призрака на крепостной стене, вошли бы и дурную привычку. В пространстве тоже случались бы невероятные вещи, подобные, скажем, происшествию с гоголевским майором Ковалевым. Вообразите себе только ваше неудовольствие, когда, просыпаясь, вы обнаруживаете на месте носа в «окрестностях» щек совершенно гладкое место! Ясно, что мир, в котором призраки гуляют по стенам, а носы исчезают и возникают беспричинно, не заслуживает доверия.

Наивысшую степень инвариантности вещей, пространств, времен гарантирует нам топология. И потому мы вместе с принцем Датским и майором Ковалевым оцениваем топологический порядок выше, чем числовой.

Во всем множестве приключений, которые могут случиться с вещью в любом из миров, известных науке, наибольшую «выживаемость» обнаруживают топологические структуры. Они характеризуют объект с наиболее глубокой стороны и поэтому по праву считаются самыми фундаментальными. Да и логически они первичны: все теоремы, доказанные в топологической геометрии, автоматически справедливы и для проекционной и для евклидовой. Исторически же построение математики продвигалось от открытия и изучения метрических и — далее — проекционных структур к топологическим.

Однако простые опыты, которые вы можете провести с ребенком, обнаружат весьма странную вещь. Впрочем, эти опыты уже провел швейцарский психолог Жан Пиаже. И показал, что становление геометрических структур у ребенка полностью отвечает логическому строению математики и, напротив, противостоит ее историческому развитию.

Как только в каракулях ребенка начинает проглядывать какой-то смысл (3–4 года), он чутко реагирует именно на топологические признаки вещей. Например, он легко отделит замкнутую фигуру от открытой («замкнутость»), предмет с отверстием — от сплошного предмета («связность»). Но только через несколько лет он заметит различия между прямолинейными и криволинейными фигурами, то есть отреагирует на метрику пространства.

А что происходит в школах? Во всех странах мира геометрию начинают изучать приблизительно в 11 лет. Начинают сразу с измерений (метрической, евклидовой геометрии), а заканчивают основами топологии в университетах. Стихийно сложилось так, что фазы обучения повторяют исторический путь создания математики, но зато они вступают в противоречие с естественными способностями человека. Традиционное академическое обучение не только не извлекает никакой пользы из «самоорганизации» ребенка, но и тормозит ее.

Как ни важны эти результаты для школьной педагогики, значение их этим далеко не исчерпывается. Самый дальний замысел Пиаже — заинтересовать ими не математиков-учителей, а математиков-теоретиков. В самом деле, почему ребенок, чьими ошибками мы привыкли забавляться, удивительным образом ухитряется чувствовать в вещах самое главное — с математической и логической точек зрения? Почему «археология» мышления повторяет «архитектуру» математики?

Ведущий систематизатор современности Николай Бурбаки утверждает, что в основании грандиозного здания всей математики лежат три «великие материнские структуры»: алгебра, топология и порядок. Но то, что он делает исключительно из соображений логической завершенности, получает совершенно неожиданное обоснование в фактах детской психологии. Оказывается, ребенок тоже начинает свою сознательную жизнь с освоения этих структур. Другой факт: в представлении о пространстве — времени ребенку, как выяснилось в опытах Пиаже, легче усвоить исходную точку зрения Эйнштейна, чем Ньютона!

Не следует ли из всего этого, что ученым надо рекомендовать творческие командировки в ясли — на предмет извлечения из детского лепета великих законов природы? Если ребенок «чувствует» логику строения современной науки, то не получается ли, что человеку едва не с пеленок уже дана та полнота знания, которая науке стоила героических усилий? Быть может, достаточно покопаться в себе самом, чтобы вытащить все это на свет божий?