Пуанкаре

"Пуанкаре начинает как Коши", — одобрительно заметил как-то один из ведущих профессоров Сорбонны. Он имел в виду широкое разнообразие работ молодого математика, опубликовавшего статьи по фуксовым функциям, по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, по теории дифференциальных уравнений с частными производными, по алгебре, по теории чисел и по многим другим разделам математики. Но некоторые его работы невозможно было отнести к какому-либо разделу этой науки, так как раздела такого не существовало. Он только еще рождался в заметках и мемуарах Пуанкаре.

Занимаясь поисками новых (фуксовых) функций, с помощью которых можно было бы представить решение Я линейного дифференциального уравнения, Пуанкаре уже осознавал ограниченные возможности такого представления. Полученная формула решения позволит для любого момента времени рассчитать положение и скорость тела, движение которого описывается дифференциальным уравнением. Ну а если этого недостаточно? Если знание числовых характеристик движения в отдельных точках не удовлетворяет исследователя и ему нужно объять мысленным взором сразу весь путь, проходимый телом? Именно такая потребность возникает во многих прикладных, практически важных задачах. Например, зная положение и скорость кометы только в отдельные моменты времени, не всегда можно ответить на вопрос: вернется ли она в будущем, и если вернется, то когда именно? Для этого нужно представить себе ее движение в целом, иметь сведения о том, замкнут ее путь или же начало и конец его теряются в глубинах вселенной. В этом случае чисто качественная, информация о характере движения гораздо важнее отдельных количественных показателей.

Если решение дифференциального уравнения выражается достаточно простой формулой, то немного потребуется усилий для того, чтобы воспроизвести по этой формуле воображаемую кривую, описываемую движущимся телом, или хотя бы осознать характерные особенности его движения. Но когда сталкиваешься со сложными трансцендентными функциями, да еще решение представляется замысловатой комбинацией этих функций, совсем не так легко представить себе, каков же проходимый телом путь. Получается парадоксальная ситуация: хоть уравнение проинтегрировано и решение записано в виде формулы, исследователь ничего не может сказать о движении в целом. Такие формулы хороши только для расчетных работ. Мало того, далеко не для всех дифференциальных уравнений удается найти формульную запись решения. Так не попытаться ли извлечь все качественные сведения о движении прямо из самого дифференциального уравнения, минуя непроходимые порой трудности интегрирования?

До этого никому и в голову не приходила столь дерзкая мысль. У Пуанкаре она возникла, по-видимому, как необычный аспект идеи, высказанной в свое время Брио и Буке: судить о свойствах решения дифференциального уравнения непосредственно по самому уравнению. Он уже использовал этот подход во время поисков фуксовых функций, определив таким образом, что неизвестные функции Должны быть периодическими функциями особого рода. Теперь требовалось нечто иное: не решая дифференциального уравнения, только по его внешнему виду выяснить геометрию определяемого им пути движения, чтобы можно было предсказать его форму, найти выпуклость кривой в течение всего периода движения, установить область пространства, внутри которого движение происходит, распознать, периодично движение или нет. Что-то вроде графологии, которой так увлекался муж Алины, философ Эмиль Бутру, с той лишь существенной разницей, что в почерке черты характера человека проявляются случайным образом, в то время как в дифференциальном уравнении сконцентрирована вся первичная информация о движении тела. Этот искусный обходной маневр — вместо сложной, а то и просто невыполнимой операции интегрирования заполучить сразу общий вид кривой, представляющей решение дифференциального уравнения, — показывает, как совершенно по-новому умел Пуанкаре видеть классические задачи математики и механики, к каким весьма нетрадиционным проблемам умел он их сводить.