Простые числа

НОМЕРА ТАКСИ

После исторической встречи Рамануджана и Харди в санатории Патни наименьшие числа, которые могут быть выражены в виде суммы двух кубов n различными способами, получили название «номеров такси». Они определяются следующим образом: «n-й номер такси есть наименьшее натуральное число, которое может быть выражено n различными способами в виде суммы двух положительных кубов». В настоящее время известны следующие «номера такси»:

Та(1) = 2;

Та(2) = 1729;

Та(3) = 87539319;

Та(4) = 6963472309248;

Та(5) = 48988659276962496.

Шестой «номер такси», Та (6), пока не найден.

* * *

Рамануджан (в центре) и Харди (крайний справа) на групповой фотографии у Тринити-колледжа в Кембридже.

Рамануджан провел в Кембридже пять лет, опубликовав за это время 21 статью. Пять из них были написаны совместно с Харди, который в конце концов заявил: «Я научился у него большему, чем он узнал от меня».

Весной 1917 г. у Рамануджана появились первые симптомы туберкулеза, который в конечном итоге стал причиной его смерти. Летом того же года он лечился в санатории. Большую часть оставшейся жизни он провел в постели. Осенью 1918 г., когда здоровье немного улучшилось, он получил долгожданную стипендию Тринити-колледжа и возобновил научную работу. Это время оказалось одним из самых продуктивных периодов его научной биографии. В начале 1919 г. он вернулся в Индию, где на следующий год умер.

Большинство результатов Рамануджана содержится в письмах, некоторые работы также собраны в трех личных записных книжках, одна из которых была потеряна и нашлась лишь в 1976 г. Еще никто не изучил его труды в полном объеме. Несмотря на то, что он умер в возрасте всего лишь 33 лет, Рамануджан оставил после себя более 4000 теорем.

Работа Рамануджана над простыми числами, в частности, поиск точной формулы для их описания, окутана тайной, хотя в определенной мере можно считать, что она закончилась неудачей. Харди писал по этому поводу: «Хотя Рамануджан добился блестящих успехов во многих областях, в работе над проблемами теории простых чисел он определенно потерпел неудачу. Можно сказать, что это было его единственной большой неудачей. Однако мне кажется, эта неудача в некотором смысле была не менее прекрасна, чем любая из его побед…»

Рамануджан не знал о работах Римана и Гаусса, но сам пытался найти формулу, которая даст ему список всех простых чисел. Этот список нужен был ему для того, чтобы посчитать, сколько существует простых чисел, меньших любого заданного числа. Результаты, которые он посылал Харди, не содержат доказательств его утверждений. Но одна формула почти выдает амбиции Рамануджана:

Абсурдность этого выражения, казалось бы, показывает, что ее автор всего лишь шарлатан, который даже не знает о сходящихся рядах. Но проницательный Харди увидел здесь смысл благодаря другим математическим результатам своего ученика. Ошибка в интерпретации произошла из-за путаницы в системе обозначений. Выяснилось, что Рамануджан записал здесь не что иное, как один из нулей дзета-функции Римана, в частности, решение для х = — 1. Этот метод, по словам Рамануджана, позволил ему получить формулу для вычисления количества простых чисел от одного до ста миллионов с удивительно небольшой погрешностью. Однако впоследствии Литлвуд показал, что Рамануджан ошибся. Тем не менее, поиски магической формулы привели его, как и многих других математиков, в чрезвычайно важную область, имеющую прямое отношение к сходящимся рядам.

* * *