Простая одержимость

Но эти основополагающие изменения пока еще, даже в начале XXI века, не нашли своего отражения в математическом образовании (по крайней мере на уровне знаний, необходимых для поступления в университет). Не исключено, что это вообще невозможно. Математика — предмет, где знания накапливаются. Каждое новое открытие что-то добавляет к общему знанию, но ничто никогда оттуда не изымается. Один раз установленная математическая истина навечно остается истиной, и каждое следующее поколение обучающихся должно ее усвоить. Такая истина никогда (ну, практически никогда) не становится неверной или несущественной — хотя и может выйти из моды или же оказаться частным случаем некоторой более общей теории. (Заметьте при этом, что в математике «более общая» не обязательно означает «более сложная». В проективной геометрии имеется теорема Дезарга, которую легче доказать в трех измерениях, чем в двух. Теорема, которую легче доказать в размерности четыре, чем в размерности три, содержится в главе 7 книги Г.С.М. Кокстера «Правильные политопы».[108])

Молодые и толковые американцы, приступающие к изучению математики в качестве предмета основной специализации на первом курсе в колледже, будут изучать математику, по существу, в том же виде, в каком она была известна молодому Гауссу — возможно, с короткими экскурсами в некоторые области, развитые в более позднее время. Поскольку моя книга нацелена примерно на такой уровень читателей, та математика, о которой здесь рассказывается, в сильной степени пропитана духом XIX века. В повествовательных главах я собираюсь рассмотреть все достижения вплоть до сегодняшнего дня, предлагая для них лучшие объяснения, которые я только смогу придумать, но математические главы этой книги нечасто будут переходить рубеж 1900 года.

VI.

История Гипотезы Римана в XX веке — это история навязчивой идеи, хватку которой рано или поздно почувствовало большинство великих математиков этой эпохи. Примеры одержимости этой идеей имеются в изобилии, как будет видно из нескольких последующих глав. Сначала обратимся к отдельному примеру. Давид Гильберт, как уже рассказывалось, поместил Гипотезу Римана восьмой в списке из 23 проблем, на которых математикам XX столетия предстояло сконцентрировать свои усилия. Это было в 1900 году, до того как навязчивая идея взяла свое. Его умонастроение несколько лет спустя видно из следующей истории, рассказанной его младшим коллегой Джорджем Пойа:

Про германского императора XIII века Фридриха Барбароссу, умершего во время Крестового похода, немцы в массе своей полагали, что он по-прежнему жив, погруженный в сон в пещере глубоко в горах Кифхойзер, готовый к тому, чтобы пробудиться и восстать когда он понадобится Германии. Кто-то спросил Гильберта, что бы он сделал, если бы, подобно Барбароссе, восстал к жизни после сна длиною в несколько столетий. Гильберт ответил: «Я бы спросил, доказал ли кто-нибудь Гипотезу Римана».

А ведь речь идет не о периоде, скудном на мощные проблемы, бросающие вызов ученым. Последняя теорема Ферма (гласящая, что не существует целочисленных[109] решений уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ при n > 2, и доказанная в 1994 году) еще оставалась открытой, как и Проблема четырех красок (о том, что четырех красок достаточно для раскрашивания любой карты на плоскости таким образом, что никакие две соседние области не будут выкрашены одним и тем же цветом, — доказана в 1976 году) и гипотеза Гольдбаха (согласно которой любое четное число, большее двойки, представимо в виде суммы двух простых чисел и которая все еще не доказана), а также множество менее значимых, но давно ждущих своего решения задач, гипотез и головоломок. Гипотеза Римана возвышалась над ними всеми.