Простая одержимость

Описываемый период развития математики вызывает сильное ощущение непрерывности, из-за которого меня так и подмывает отбросить строго хронологический подход при рассказе о XX столетии. Это искушение усиливается ввиду характера достижений совершенных в течение этого столетия. История о Гипотезе Римана в XX веке состоит не из одной линии рассказа, а из нескольких нитей, иногда пересекающихся, иногда переплетающихся друг с другом. Здесь требуется маленькое предварительное объяснение; а объяснение само по себе требует предисловия — замечания о том, как математика развивалась в период с 1900 по 2000 год.

V.

Если не считать парижского доклада Гильберта, то 1900 год, конечно, представляет собой произвольную отметку во времени. Математика развивалась равномерно и непрерывно на протяжении всего современного периода. Математики не отправлялись домой с новогодних вечеринок в первые часы 1 января 1900 года (или, если вам больше нравится, 1901 — см. главу 6.ii) с мыслями: «Ага! Уже XX столетие! Нам надо переходить на более высокий уровень абстракции!» — по крайней мере, не в большей степени, чем европейцы, проснувшиеся утром 30 мая 1453 года, думали: «Средние века закончились! Надо бы заняться книгопечатанием, усомниться в авторитете Папы и отправиться открывать Новый Свет!» Мне бы очень не хотелось оказаться в ситуации, когда перед судом моих коллег мне пришлось бы обосновывать термин «математика XX века».

Но при этом все же верно, что математика последних нескольких десятилетий приобрела характерный оттенок, ясно отличающий ее от той математики, которой занимались Гаусс, Дирихле, Риман, Эрмит и Адамар. Насколько его можно передать в одном слове, этот оттенок — алгебраический. Вот начало первого утверждения в книге «Некоммутативная геометрия» Алена Конна, вышедшей в 1990 году и представляющей собой довольно-таки типичный для конца XX века текст по высшей математике:

Классы ограниченных случайных операторов (q_/)_/єx, рассматриваемых по модулю равенства почти всюду, образуют алгебру фон Неймана W(V,F) относительно следующих алгебраических правил…

Алгебраический… алгебра… И это в книге о геометрии! (Кстати, одиннадцатое слово в формулировке последней теоремы — слово и «риманово».[107])

Происходило же в эти последние десятилетия в общих чертах такое. По ходу большей части своего развития математика твердо опиралась на число. Большая часть математики XIX столетия имела дело с числами: целые числа, рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа. В процессе этого развития возникали новые математические объекты, а также раздвигались границы существующих объектов — функций, пространств, матриц — и изобретались новые мощные средства для работы с ними. Но все это так или иначе имело отношение к числам. Функция отображает одно множество чисел в другое множество чисел. Например, функция возведения в квадрат отображает 3, 4 и 5 в 9, 16 и 25; дзета-функция Римана отображает 0, 1 + i и 2 + 2i в −¹/₂, 0,58216 − 0,92685i и 0,86735 − 0,27513i. Аналогично, пространство — это множество точек, задаваемых своими координатами, которые также суть числа. Матрица — это таблица из чисел. И так далее. (Мы будем рассматривать матрицы в главе 17.iv.)

В математике же XX столетия объекты, введенные ранее для выражения важных фактов о числах, сами сделались объектами исследования, и к ним стали применять развитые к тому времени методы изучения чисел и множеств чисел. Математика как бы сорвалась с якоря, привязывающего ее к числу, и воспарила к новым уровням абстракции.

Классический анализ, скажем, имеет своим предметом предел бесконечной последовательности чисел или точек (причем «точка» определяется своими координатами, каковые суть числа). Типичный же продукт XX века — «функциональный анализ», в котором фундаментальный объект исследования — последовательности функций, которые могут сходиться или расходиться и в которых сами функции предлагается рассматривать как «точки» в пространстве бесконечного числа измерений.

Математика уже обратилась сама на себя до такой степени, что даже сами методы исследования и доказательства превратились в объекты изучения. Ряд самых важных теорем в математике XX века касается полноты математических систем (Курт Гедель, 1931) и разрешимости математических пропозиций (Алонсо Черч, 1936).