Простая одержимость

Деление основано на нехитром приеме. Что такое 2:i?. Ответ: запишем это в виде дроби, как 2/i. Чудесное свойство дробей состоит в том, что одновременное умножение и числителя, и знаменателя на одно и то же число (не равное нулю) не изменяет дроби: ³/₄, ⁶/₈, ¹⁵/₂₀ и ^12 000/_16 000 — это все разные способы записи одной и той же дроби. Итак, умножим числитель и знаменатель дроби 2/i на −i. Умножение двойки на −i даст, конечно, −2i, а i умножить на −i есть −i², то есть −(−1), что равно 1. Следовательно, 2/i равно −2i/1, что есть просто −2i.

Такое всегда можно сделать — превратить знаменатель дроби в вещественное число. А поскольку всем известно, как делить на вещественные числа, мы у цели. Как нам поделить два полновесных комплексных числа, скажем, (−7 − 4i)/(−2 + 5i)? Вот как: умножим числитель и знаменатель на −2 − 5i. Давайте сначала выполним умножение сверху: (−7 − 4i)×(−2 − 5i) = −6 + 43i. Теперь снизу: (−2 + 5i)×(−2 − 5i) = 29. Ответ: −⁶/₂₉ + ⁴³/₂₉i. Знаменатель дроби (a + bi)/(c + di) всегда можно превратить в вещественное число, умножив ее на (c − di). Общее правило на самом деле имеет вид

А каков квадратный корень из i? Не потребуется ли нам ввести целый новый класс чисел, чтобы включить √i? И все далее и далее до бесконечности? Ответ: перемножим скобки (1 + i)×(1 + i). Результат, как можно видеть, равен 2i. Значит, квадратный корень из 2i равен 1 + i. С поправкой на масштаб, квадратный корень из i должен быть равен 1/√2 + i/√2. Это число на самом деле им и является.

Комплексные числа по-настоящему прекрасны. С ними можно делать все, что угодно. Можно даже возводить их в комплексные степени, если вы полностью отдаете себе отчет в том, что делаете. Например, (−7 − 4i)⁻²⁺⁵ⁱ равно приблизительно −7611,976356 + 206,350419i. Однако подробное обсуждение этой темы мы отложим до другого момента.

V.

Чего нельзя сделать с комплексными числами, так это уложить их на прямую, как вещественные.

Семейство вещественных чисел R (конечно, с содержащимися в нем Q, Z и N) очень легко себе представить. Просто выстроим все числа вдоль прямой линии. Этот способ представления вещественных чисел называется «вещественная прямая» (рис. 11.1).

Рисунок 11.1. Вещественная прямая.

Каждое вещественное число лежит где-то на этой прямой. Например, √2 расположен немного к востоку от 1, чуть ближе, чем на полпути до 2, −π лежит лишь немного к западу от −3, а 1 000 000 — за пределами рисунка, где-то в соседнем районе. Ясно, что на конечном листе бумаги удается показать только часть прямой. От читателя требуется известная доля воображения.

Вещественная прямая представляется вещью очевидной, но в действительности дело с ней обстоит довольно серьезно и не лишено тайны. Рациональные числа, например, «всюду плотны» на ней. Это значит, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще одно. А это означает, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще бесконечно много рациональных. (Ну правда: если между a и b гарантированно живет c, то между a и c, а также между c и b гарантированно имеется некое d и некое e… и т.д., без конца.) Ладно, это почти удается себе представить. Но где же тогда помещаются иррациональные числа? Кажется, что им приходится как-то втискиваться между рациональными числами, которые, как мы только что видели, уже сидят всюду плотно! Всюду плотно — но при этом расселение еще не закончено.

Возьмем последовательность из главы 1.vii, которая сходится к √2, например ¹/₁, ³/₂, ⁷/₅, ¹⁷/₁₂, ⁴¹/₂₉, ⁹⁹/₇₀, ²³⁹/₁₆₉, ⁵⁷⁷/₄₀₈, ¹³⁹³/₉₈₅, ³³⁶³/₂₃₇₈, …. Ее члены по очереди делаются то меньше, то больше, чем √2, так что ¹³⁹³/₉₈₅ меньше, чем √2 примерно на 0,000000036440355, a ³³⁶³/₂₃₇₈ больше примерно на 0,00000006252177. Между этими двумя дробями втиснуто еще бесконечно много других дробей… и тем не менее где-то там остается место для √2. И не для одного только √2, а для бесконечного количества других иррациональностей!

Поражает не просто то, что иррациональностей бесконечно много, и не то, что и они тоже всюду плотны, но тот факт, что имеется строгий математический смысл в утверждении, что иррациональных чисел куда больше, чем рациональных. Это показал в 1874 году Георг Кантор. Число рациональных чисел бесконечно, и число иррациональных чисел тоже бесконечно, но вторая бесконечность больше первой. Как, черт возьми, все они умещаются на вещественной прямой? Как может столь непредставимо грандиозное количество иррациональных чисел втиснуться между рациональными, если те и так уже всюду плотны?