Простая одержимость

Имеется математический объект — эрмитова матрица, которая построена из комплексных чисел, но самая сокровенная и важная характеристика которой — набор собственных значений — неожиданным образом выражается одними лишь вещественными числами. А вот имеется функция — дзета-функция Римана, которая построена из комплексных чисел; и ее наиболее сокровенная и важная характеристика — набор ее нетривиальных нулей. (Для целей данного рассуждения забудем пока о других нулях.) Каждый из этих нулей лежит в критической полосе. Они симметричны относительно критической прямой с вещественной частью ¹/₂. Скажем, что типичный нуль имеет вид ¹/₂ + zi с некоторым числом z. Тогда Гипотеза Римана утверждает, что все z — вещественные числа.

Математики 1910-х годов на самом деле сказали бы «оператор», а не «матрица». Хотя матрицы и были разбросаны повсюду после их изобретения Артуром Кэли в 1856 году, они все же не стали всеобщим достоянием, пока около 1925 года на сцене не появилась квантовая механика. И все же здесь можно увидеть грубую аналогию. И набор собственных значений эрмитовой матрицы, и набор нетривиальных нулей дзета-функции представляют собой наборы чисел, возникающих из ключевого свойства существенно комплексных объектов и неожиданным образом оказывающихся вещественными. Отсюда возникает следующая

Гипотеза Гильберта-Пойа

Нетривиальные нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям некоторого эрмитова оператора.

Происхождение этой гипотезы несколько туманно. И Гильберт, и Пойа должны были бы упоминать возможность некоторой подобной эквивалентности в лекциях или в разговорах в те годы (1910–1920). Но насколько мне удалось установить, ни один из них не воплотил эту мысль в опубликованной статье. Насколько я знаю — и, как сообщает Питер Сарнак, насколько он знает, — единственным письменным свидетельством того факта, что гипотеза Гильберта-Пойа вообще была высказана, остается письмо, которое 20 лет тому назад Пойа написал Эндрю Одлыжко и фрагмент которого приведен на рисунке 17.3. В нем Пойа сообщает, что Эдмунд Ландау задал ему следующий вопрос: «Можете ли вы придумать какую-нибудь физическую причину, в силу которой Гипотеза Римана была бы справедлива?» О том, какие именно предположения делал сам Гильберт, нет вообще никаких известных мне материальных свидетельств.

Рисунок 17.3. Фрагмент письма Джорджа Пойа к Эндрю Одлыжко.

Не следует, однако, забывать, что в математике начала XX века Гильберт был фигурой незаурядного масштаба, а также о том, что он жил и работал в немецкой академической среде, где на университетских профессоров их студенты и подчиненные взирали как на недоступных и всеведущих божеств, приближаться к которым следовало не иначе как с величайшим почтением. Не только к профессору нельзя было и помыслить себе обратиться как-нибудь иначе, нежели «господин профессор», но и жена его становилась «госпожа профессор». Однако для величайших из этих олимпийцев даже такого обращения оказывалось недостаточно. Наиболее выдающимся личностям немецкое правительство присваивало титул Geheimrat, «тайный советник», — примерный эквивалент посвящения в рыцари в Британии. Так что правильное обращение должно было звучать как «господин тайный советник», хотя сам Гильберт и не утруждал себя подобными формальностями.

В силу всего этого неудивительно, что если по удачному стечению обстоятельств вам случалось оказаться в достаточной близости от одного из этих небожителей, чтобы слышать его речь, то вам не скоро удавалось забыть его слова. Конечно, подобные гиганты вызывали к жизни определенное количество не подлежащих проверке апокрифов. И тем не менее, подсчитав все за и против, я склонен думать, что Гильберт в самом деле в какой-то момент высказал гипотезу Гильберта-Пойа или нечто ей эквивалентное. (Между прочим, если бы мы для краткости говорили просто «гипотеза Пойа», это привело бы к недоразумениям, поскольку имеется совершенно другая гипотеза, известная под таким названием.)

Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой

I.