Природа и общество. Модели катастроф

Прием отражения в биссектрисе, выработанный в главе 1, показывает, что на этой кривой есть единственная точка устойчивого равновесия – точка 1; обозначим ее абсциссу через K₁. Точка фазовой кривой P₀ c абсциссой K₀ при K₀ < K₁ движется вправо, и через некоторое число шагов, соответствующих в нашей условной хронологии годам, подойдет сколь угодно близко к точке 1. Если же исходное значение K₀ > K₁, то точка фазовой кривой движется влево, к той же точке 1. Итак, точка 1 изображает состояние среды с установившейся концентрацией загрязнения K₁. Поскольку фазовая кривая больше нигде не пересекает биссектрисы, других точек устойчивой концентрации нет. Насколько велика концентрация K₁, зависит от формы кривой деструкции M = f(K) и от значения среднегодовой концентрации d₁. По этим данным, как мы увидим, можно заранее предсказать устойчивую концентрацию K₁, а, следовательно, решить, будет ли терпимо предприятие с таким загрязнением, и если надо, отказаться от его постройки или закрыть его.

Рис.6

(2) Кривая M = f(K) + d₁ пересекает биссектрису в трех точках 1, 2, 3. Это происходит при бо'льших значениях d₁: при возрастании d1 кривая M = f(K) + d₁ поднимается, и при некотором значении d₁ = d_1a ее выпуклая часть касается биссектрисы, после чего часть этой кривой поднимается над биссектрисой, как это видно на рисунке 7 (верхняя кривая). Мы будем называть число d_1a первым критическим значением. Поскольку при больших значениях K эта кривая параллельна прямой M = c₁K, образующей с осью K угол меньше 45⁰, то она в конце концов уходит под биссектрису. Тогда кривая M = g(K) в самом деле пересекает биссектрису в трех точках, которые мы и обозначили через 1, 2, 3.

Рис.7

(3) Кривая M = f(K) + d₁, при еще бо'льших значениях d₁, пересекает биссектрису опять в единственной точке 3, а точка 1 исчезает (рис.8). В самом деле, если дальше увеличивать d₁, то при некотором значении d = d_1b (которое мы назовем вторым критическим значением) вогнутая часть кривой касается биссектрисы, а затем поднимается выше нее, так что точки пересечения 1 и 2 исчезают. Но точка пересечения 3 остается, так как при больших значениях K кривая по-прежнему опускается ниже биссектрисы. Концентрация загрязнения K₃, равная абсциссе точки 3, в этом случае еще выше, чем в случае (2). Для большинства загрязнителей такой уровень концентрации недопустим.

Рис.8

Важнейшее практическое значение имеет точка устойчивого равновесия 1 – режим, в котором работают все "нормальные" (не экологически преступные) предприятия. Для этой точки надо найти концентрацию загрязнения K₁ – ее абсциссу.

Поскольку все наши кривые – эмпирические, требуемое значение K₁ находится графически. Это делается, как показано на рисунке 9. Нижняя кривая на этом рисунке – фазовый портрет деструкции М = f(К), верхняя кривая – фазовый портрет непрерывного загрязнения М = g(К), получаемый из предыдущего подъемом на d₁. Отложим по оси М вниз от начала координат отрезок ОP₀ длины d₁, затем проведем через точку Р₀ прямую, параллельную биссектрисе, до пересечения с нижней кривой в точке Р₁. Тогда вертикальная прямая, проходящая через Р₁, пересекает биссектрису в точке, лежащей выше точки Р₁ на d₁ и, следовательно, принадлежащей верхней кривой; но поскольку точка пересечения верхней кривой с биссектрисой есть не что иное, как точка равновесия 1 (см. рис.6), то мы нашли точку 1. Поэтому абсцисса точки Р₁, которую мы обозначим через К₁, равна ординате точки 1, а эта последняя состоит из отрезка К₁Р₁ длины f(К₁) и отрезка Р₁1 длины d₁1 – то есть K₁ = f(K₁) + d₁, иначе говоря, K₁ есть корень уравнения K = f(K) + d₁.

Рис.9

Картина экологического бедствия

Концентрация загрязнения, о которой была речь выше, относится, конечно, к определенной точке местности, окружающей предприятие. Рассмотрим простейший случай, когда эта местность однородна, то есть окружающая среда везде одинакова. Тогда реакция этой среды на загрязнение везде одна и та же, то есть во всех точках окружающей местности действует одна и та же фазовая кривая деструкции попавшего в эту точку загрязнения: M = f(K). Напомним, что эта кривая характеризует процесс деструкции исходной концентрации K, каким бы образом она ни образовалась, и зависит только от свойств среды, которую мы считаем однородной.