φ – Число Бога

В 1907 году была опубликована революционная работа немецкого математика Г. ван Итерсона, где доказывалось, что если тесно расставить последовательные точки, разделенные под углом в 137,5 градусов, на туго свернутой спирали, то глаз будет выхватывать одно семейство спиральных узоров, которые закручиваются по часовой стрелке, и другое – против часовой. Количество спиралей в этих семействах – это обычно два соседних числа Фибоначчи, поскольку их отношение стремится к золотому сечению. Такие спирали, свивающиеся в противоположные стороны, особенно наглядно заметны в расположении семечек подсолнуха. Если рассмотреть цветок подсолнуха (рис. 34), можно отметить, что семечки образуют спиральные узоры и по часовой стрелке, и против. Очевидно, что семечки растут так, чтобы горизонтальное пространство распределялось между ними оптимально. Количество спиралей зависит, как правило, от размера цветка. Чаще всего их 34 в одну сторону и 55 в другую, однако ученым попадались и подсолнухи с соотношением количества спиралей 89/55, 144/89 и даже (по меньшей мере один, о котором одна семейная пара из Вермонта написала в 1951 году в журнал «Scientific American») 233/144. Все это, конечно, соотношения соседних чисел Фибоначчи. У самых крупных подсолнухов структура меняется от центра к окружности – переходит от одной пары соседних чисел Фибоначчи к следующей.

Рис. 34

Числа Фибоначчи и связь с золотым сечением прослеживается также в числе и расположении лепестков. Иные люди даже доверяют свою жизнь, по крайней мере, символически, количеству лепестков ромашки, дабы решить животрепещущий вопрос «любит – не любит». У большинства полевых ромашек лепестков 13, 21 или 34 – и все это числа Фибоначчи (вот было бы славно заранее знать, четное или нечетное количество лепестков у попавшейся вам ромашки!). Количество лепестков отражает всего-навсего количество спиралей в одном из семейств.

Прелестное расположение лепестков розы также основано на золотом сечении. Если препарировать розу, снимая по лепестку, станет видно, что ее многочисленные, тесно прижатые друг к другу лепестки крепятся определенным образом. На рис. 35 приводится схема, где лепестки пронумерованы. Углы, определяющие положение лепестков (в долях окружности) – это дробная часть произведений φ на целые числа. Лепесток 1 расположен в 0,618 оборота от лепестка 0 (дробная часть 1 × φ), лепесток 2 – в 0,236 оборота от лепестка 1 (дробная часть 2 × φ) и т. д.

Рис. 35

Это описание показывает, что загадка филлотаксиса, насчитывающая уже 2300 лет, сводится к простому вопросу: почему последовательные листья разделены золотым углом в 137,5 градусов? Попытки найти ответ на этот вопрос идут, так сказать, под двумя соусами: теории, сосредоточенные на геометрии этой конфигурации и на простых математические законах, которые могли бы породить такую геометрию, с одной стороны, и модели, ищущие, какая движущая сила стоит за наблюдаемым поведением растений, с другой. Основные труды первого типа, авторами которых были, в частности, математики Гарольд С. М. Коксетер и И. Адлер и кристаллограф Н. Ривье, показывают, что почки, расположенные вдоль золотой спирали и разделенные золотым углом, упакованы экономичнее всего. Это легко понять. Если бы угол расхождения был, скажем, 120 градусов (360/3) или представлял собой любую другую рациональную долю 360 градусов, листья торчали бы в три стороны, а между ними бы оставалось много пустого места. С другой стороны, иррациональная доля 360 градусов вроде золотого угла обеспечивает, что не будет ни одного направления, которое листья «предпочли бы», и почки будут равномерно и экономно занимать все пространство. Однако золотой угол, оказывается, даже лучше любой другой иррациональной доли угла в 360 градусов, поскольку золотое сечение – самое иррациональное из всех иррациональных чисел, а в каком смысле, мы сейчас увидим. Вспомним, что золотое сечение равно непрерывной дроби, составленной исключительно из единиц. Эта непрерывная дробь сходится медленнее любой другой непрерывной дроби. Иначе говоря, выразить золотое сечение дробью еще труднее, чем любое другое иррациональное число.