Парадоксы роста

Линейный рост описывает поведение системы вблизи начальной сингулярности роста, начинающейся с N₀ = 1 и положительных значений N. Далее следует рост по гиперболе и в конце — сингулярность демографического взрыва. Построение, когда переменные n и t при прохождении перехода меняются местами, мы оставляем читателю.

На рис. 18 показаны функции, описывающие рост системы при К = 1, которые появляются при построении решения, начинающегося с сингулярности в эпоху А, переходящего затем в эпоху В гиперболического роста и завершающегося эпохой С. Асимптотический переход решений, описывающий рост в начале развития и на его конечном участке, получим, обратившись к рядам для функции cot (t/K) и cot^-1(t/K):

Эти функции пересекаются в точке А, посередине роста при логарифмическом представлении между временем T₀ и T₁ соответствующей наступлению неолита:

под углом 2/(3K) практически гладко при больших значениях К.

Очевидно, что решение можно строить, отсчитывая время от T₀ — от эпохи антропогенеза А при t₀ = 0. Тогда, исключив t из (15с), получим одно автономное дифференциальное уравнение, описывающее рост в зависимости от состояния системы, которое определяется населением Земли и где последний член добавлен с тем, чтобы рост в эпоху А никогда не был меньше одного гоминида при Δt = τ.

Интегрируя (20) при значениях K > 1 и начальных условиях t₀ = n₀ = 0, получим решение:

Рис. 20. Функции F (t), описывающие рост

Это решение показывает симметрию переменных N и T — населения и времени. Для развития в течение эпохи В вдали от особенностей роста это выражено в (16в) и следует из сложности причинных связей в рамках развитых представлений о нелинейной динамике глобальной системы населения нашей планеты.

Для того чтобы выяснить устойчивость развития, следует обратиться к уравнению роста человечества (20). На основании (15) в линейном приближении устойчивость роста к возмущениям

δN = δN₀ exp(λt) (22)

определит показатель Ляпунова λ развития неустойчивости в системе населения:

По этому критерию при λ > О движение неустойчиво до перехода. Только после него развитие системы становится асимптотически устойчивым и впредь таким и остается. Отметим, что в этих решениях значение констант роста К и τ не эволюционируют. Более полное определение устойчивости потребует введения распределений для n и обращения к методам статистической физики при обобщении развитой выше модели.

Рис. 21. Переходные процессы и устойчивость роста в линейном приближении

1 — логистический переход ν = 1/1+е^-r; 2 — демографический переход η = 1/π соt^-1 T и λ (ν).

При гиперболическом росте мгновенное значение экспоненциального роста равно древности,

что и определяет скорость процессов развития в момент времени Т.

В гиперболической хронологии мгновенный экспоненциальный масштаб времени роста линейной неустойчивости по Ляпунову зависит от древности и до демографического перехода равен удвоенному времени роста неустойчивости:

T_e = 2τ/λ (25)

Однако наличие выделенных антропологами и историками демографических циклов указывает на глобальную устойчивость с малыми отклонениями системы от предельной траектории роста.

Наконец, из (15) следует, что после каждого цикла до демографического перехода остается приблизительно половина времени длительности цикла:

что вполне подтверждается данными истории и антропологии (см. табл. 2, с. 74).

* * *

Асимптотические решения для нелинейных задач приобретают, как заметил Я. Б. Зельдович, то же значение, что частные решения для линейных задач, где действует принцип суперпозиции. В нашей задаче автомодельные решения имеют асимптотический характер, при котором значение некоторых параметров оказываются несущественным, подобно тому как в частных решениях линейных задач происходит вырождение по некоторым параметрам. Так, частота колебаний в линейной задаче не зависит от их амплитуды.

В некоторых случаях независимость от параметра позволяет от уравнений в частных производных перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Именно это происходит в задаче о росте человечества, когда в нелинейном уравнении (6) можно пренебречь пространственным распределением населения, поскольку в первом приближении перемещение на конечной по размерам Земле — миграция населения — не влияет на само число людей.

В заключение заметим, что изложенная теория рассматривает задачу о росте и развитии демографической системы в асимптотическом приближении. Из этого следует, что в этом приближении ресурсы не влияют на глобальное взрывное развитие. Поэтому ограничение роста и переход к стабилизации населения мира обязаны внутренним процессам, выраженным в принципе демографического императива, и не подчиняется внешним, в первую очередь ресурсным факторам.