Омар Хайям

В основе исходного определения Хайяма лежит процесс отыскания наибольшей общей меры и соответствующий алгоритм Евклида. Доказывая эквивалентность определений Евклида и собственного, Омар Хайям приходит к выводу о наличии существенного пробела в теории отношений — отсутствие общей теории о существовании четвертой пропорциональной к трем другим величинам, которую Евклид доказал в шестой книге только для частного случая отрезков. С точки зрения Хайяма, существует прямая связь этой теоремы с непрерывностью, и доказывает он ее на основании еще одного из «принципов, заимствованных у философа»: «величины можно делить до бесконечности, то есть они не состоят из неделимых» (кстати, это положение Аристотеля будет играть важную роль и в его философских трактатах). Для обоснования этой теоремы Хайям доказывает, что величина принимает каждое значение, промежуточное между какими-либо двумя ее значениями. Хотя для приведенного принципа этого недостаточно, здесь важна сама принципиальная идея.

Третья книга «Комментариев» посвящена проблеме составления отношений, недостаточно развитых у Евклида. Это учение представляло для математиков цивилизации ислама особую важность в связи с возможными приложениями к теории музыки и, главное, тригонометрии. Здесь Омар Хайям отходит от аристотелевской концепции о числе. Признавая, что число в собственном смысле — это натуральное число, собрание единиц, он предлагает ввести более широкое абстрактное понятие о числе как о действительном положительном числе. При этом Хайям теоретически обосновывает давнюю практику математиков. Ведь «вычислители и землемеры часто говорят: половина единицы или треть ее или какая-нибудь другая доля ее, в то время как единица неделима… предполагают единицу делимой. Они часто говорят: корень из пяти, корень из десяти и т. д. — их слова, действия и измерения изобилуют этими выражениями».

Для большинства математиков и философов Древней Греции было характерно восприятие числа исключительно как меры дискретных множеств предметов или меры непрерывных величин, состоящих из однородных с ними величин, равных между собой. Расцвет астрономии, огромные и регулярные вычислительные работы по составлению тригонометрических и астрономических таблиц, успехи числовой алгебры — все это привлекло внимание к иррациональным числам как законному объекту математики.

Хайям, развивая математическую тенденцию на объединение отношений и чисел, первый со всей определенностью формулирует и новую, более общую концепцию действительного (положительного) числа. Он вводит и обосновывает понятие общей абстрактной числовой величины, указывая на практическую значимость такого расширения понятия числа. Хайям подчеркивает, что новая, вводимая им единица является делимой, — только у практиков эта единица всякий раз являлась именованной и могла рассматриваться как множество других более мелких единиц, а у Хайяма это — отвлеченная числовая единица. В итоге у Хайяма каждому отношению ставится в соответствие некоторое действительное (положительное) число и отношения вместе с числами приобретают функции измерения любых величин.

За Хайямом в теории отношений и учении о числе последовал Насир ад-Дин ат-Туси. В Европе единое понятие действительного (положительного и отрицательного) числа впервые появляется в конце XVI века. Но строгие теории действительного числа возникли только в конце XIX века.

В третьей книге Хайям пишет: «Что касается отнимания отношения, упоминаемого в музыке, то на самом деле при внимательном рассмотрении оно оказывается разновидностью присоединения, и метод изучения — тот же самый для обладающего проницательным умом и хорошей интуицией.

Мы коснулись этого вопроса в «Комментариях к трудностям» Книги о музыке». Упоминаемая Хайямом работа, к сожалению, не сохранилась. Скорее всего, это были комментарии к «Большой книге о музыке» аль-Фараби, с творчеством которого Хайям был очень хорошо знаком.

Те, в ком страсти волнуются, мысли кипят, —
Все на свете понять и изведать хотят.
Выпьют чашу до дна — и лишатся сознанья,
И в объятиях смерти без памяти спят.

— Я иногда завидую тем людям, которые не забивают себе головы такими выспренними словами, как «мудрость», «истина», «знание».

Прекрасная летняя ночь нависла над Исфаханом. В небе сочно роятся равнодушные звезды. Упрямый горный ветерок все же ухитрился отогнать дневной зной. На верхней площадке обсерватории стоят Омар Хайям и Абу-ль-Музаф-фар аль-Исфазари.

— Почему? — чуть помедлив, спрашивает своего коллегу Абу-ль-Музаффар.

— Может быть, потому, что высшая правда заключается в том, чтобы не замечать тех вопросов, ответов на которые не просто нет, а и не может быть. Просто не замечать. Почему бы нет?