Observationes Domini Petri de Fermat

Determinatio est illegitima, quia non generalis, addendum igitur, vel multiplex per numeros primos qui superant unitate ternarij multiplices, aut ab ipsis compositos ut 7. 13. 19. 37. etc. vel 21. 91. etc. demonstratio et constructio ex nostra methodo petendæ.

Перевод:

Условие незаконно, так как оно не общее. Нужно добавить: „или быть произведением (квадрата) на простое число, которое превосходит на единицу кратное трех, или на число, составленное из таких простых чисел“, как 7, 13, 19, 37 и т. д. или 21, 91 и т. д. Доказательство и решение получаются из нашего метода.

OBSERVATIO D. P. F XIII (p. 154)

Ad quæstionem XVII Libri IV.

^{Invenire tres numeros æquales quadrato, ita ut quadratus cujuslibet ipsorum adscito sequente numero faciat quadratum.}

Elegantius fortassè ita solvetur hæc quæstio, ponatur primus numerus 1.N. secundus 2N + 1 ut cum quadrato primi conficiat quadratum, ponatur tertius quilibet unitatum et numerorum numerus, eâ conditione ut additus quadrato secundi conficiat quadratum, V. G. [verbi gratia] sit 4.N. + 3. ita igitur duabus propositi partibus fit satis, superest ut summa trium, sed et quadratus tertij unâ cum primo conficiat quadratum, summa trium est 4 + 7N. summa verò quadrati tertij et primi est. 9 + 25N + 16Q. oriturque duplicata æqualitas cuius solutio in promptu si unitates quadratas ad eumdem numerum quadratum in utrovis numero quadrato adæquando revoces.

Eademque viâ facillimè extendetur quæstio ad 4. numneros et infinitos cavendum enim solummodo erit ut summa unitatum quæ in singulis numeris ponuntur conficiat quadratum quod quider facillimum est.

Перевод:

Эта задача допускает, пожалуй, более изящное решение. Положим первое число x, второе 2x + 1, так что, прибавленное к квадрату первого, оно дает квадрат. Для третьего выберем произвольно коэффициент при x и свободный член, с условием, чтобы прибавление квадрата второго давало квадрат; например, пусть оно будет 4x + 3.

Таким образом, два условия удовлетворены; нужно еще, чтобы сумма всех трех, а также квадрат третьего вместе с первым составляли квадраты.

Но сумма трех есть 4 + 7x сумма же квадрата третьего и первого 9 + 25x + 16x².

Получаем двойное равенство, в котором свободные члены являются квадратами; поэтому решить его легко, сделав эти члены равными одному и тому же квадрату.

Тем же методом можно распространить задачу на четыре числа и так до бесконечности; достаточно сделать, чтобы свободные члены в выражениях для отдельных чисел были квадратами, а это очень легко.

OBSERVATIO D. P. F XIV (p. 156)

Ad quæstionem XVIII Libri IV.

^{Invenire tres numeros æquales quadrato, ut cujusvis ipsorum quadratus, dempto qui eum ordine sequitur, faciat quadratum.}

Eodem quo in superiore quæstione usi sumus ratiocinio hanc quoque solvemus et ad quotlibet numeros extendemus.

Перевод:

Способ рассуждения, который мы применили к предыдущей задаче, позволяет решить и эту и распространить ее на произвольное число чисел.

OBSERVATIO D. P. F XV (p. 159)

Ad quæstionem XX Libri IV.

^{Invenire tres numeros indefinite, ut quem bini producunt mutua multiplicatione, adscita unitate, faciat quadratum.}

Proponatur invenire tres numeros ut quem bini producunt mutuâ multiplicatione adscitâ unitate faciat quadratum et præterea unusquisque trium adscitâ unitate, faciat quadratum.

Huius quæstionis solutionem subjungenus et iam confecta est[12]. Ita fiat solutio indefinita præsentis quæstionis[13] ut unitates primi et tertij numeri addita unitate conficiant quadratos v g. [verbi gratia] sint tres numeri indefinitè primus ¹⁶⁹/₅₁₈₄N. + ¹³/₃₆ Secundus 1N. Tertius ⁷²²⁵/₅₁₈₄N + ⁸⁵/₃₆ Patet solutionem hanc indefinitam satisfacere conditionibus huius quæstionis secundæ.

Super est ut singuli ex illis numeris adscitâ unitate conficiant quadratos et orietur triplicata æqualitas, cuius solutio erit in promptu ex nostrâ methodo cum numerus unitatum in quolibet ex istis numeris unitate auctis sit quadratus.

Перевод:

Пусть предложено найти три числа, произведение любых двух из которых, увеличенное на единицу, будет квадратом, и, кроме того, каждое из этих чисел, увеличенное на единицу, дает квадрат.