Observationes Domini Petri de Fermat

Sint duo cubiquibus alij duo æquales inveniendi 8. et 1. primum ex quæstione secunda quærantur duo cubi quorum differentia æquet summam datorum, eruntque ⁸⁰⁰⁰/₃₄₃ et ⁴⁹¹³/₃₄₃ Quia duplum minoris excedit maiorem, res deducitur ad tertiam quæstionem, quæ demum reducetur ad primam et constabit propositio, Si velis secundam solutionem rursus quæstio redibit ad secundatm etc.

Ut autem pateat quæstionis tertiæ deterviniationem non esse legitimam. datis duobus cubis 8. et 1. inveniendi alij duo quorum differentia æquet differentiam datorum. Sanè Bachetus impossibilem hanc quæstionem pronuntiaret, cubi tamen duo per nostram methodum inventi sunt sequentes quorum nempe differentia æquatur 7. differentire 8. et 1. Cubi autem illi duo, sunt ^2024284625/_6128487 et ^1981385216/_6128487. latera ipsorum ¹²⁶⁵/₁₈₃. et ¹²⁵⁶/₁₈₃.

Перевод:

Условие, наложенное на задачу 3, незаконно, как мы покажем, действуя так же, как и в случае задачи 1.

Более того, на основании вышеизложенного мы благополучно решим задачу, неизвестную Баше: Данное число, составленное из двух кубов, разложить на два других куба, и это бесконечным числом способов, путем непрерывного повторения операций, как это было указано выше.

Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме других двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем два куба, разность которых равна сумме данных; они будут 8000/343 и 4913/343.

Так как удвоенный меньший превосходит больший, то дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и получим решение.

Если мы хотим получить второе решение, то возвращаемся к задаче 2 и т. д.

Чтобы показать, что условие, наложенное на задачу 3, незаконно, возьмем два куба 8 и 1 и найдем два других куба, разность которых равна разности данных.

Баше объявил бы, конечно, что задача невозможна; однако нашим методом найдены два куба, разность которых равна 7, т. е. разности 8 и 1. Эти два куба таковы, 2024284625/6128487 и 1981385216/6128487, а их стороны равны 1265/183 и 1256/183.

OBSERVATIO D. P. F X (p. 146)

Ad commentarium in quæstionem XI Libri IV.

^{QUÆSTIO DIOPHANTI: Invenire duos cubos suis æquales lateribus.}

^{QUÆSTIO BACHETI: Invenire duos cubos quorum summa ad summam laterum sit in data ratione, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.}

Eadem addenda huic determinationi quæ in notis sequentis[11] addidimus, et miror Bachetum non quod methodum generalem, quæ sanè est difficilis, non viderit, sed quod saltem non admonuerit lectores hanc quæ ab ipso traditur, non esse generalem.

Перевод:

Это условие должно быть дополнено, как это мы сделали в следующем замечании. Не приходится удивляться, что Баше не увидел общего метода, который действительно труден; но он должен был, по крайней мере, предупредить читателя, что метод, который он дает, не является общим.

OBSERVATIO D. P. F XI (p. 148)

Ad quæstionem XII Libri IV.

^{Invenire duos cubos quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum.}

Utrum verò invenire liceat duo quadratoquadrata quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum, de hoc inquiratur et tentetur artificium nostræ methodi, quod haud dublè succedet.

Quærantur enim duo quadratoquadrata ita ut differentia laterum sit 1. et differentia quadratoquadratorum sit cubus. Erunt latera per primam operationem —⁹/₂₂ et ¹³/₂₂. Sed quia primus numerus notatur signo — iteretur operatio iuxta nostram methodum et ponatur primum latus 1N — ⁹/₂₂ secundum erit 1N + ¹³/₂₂ et incidetur in novam æquationem quæ in veris numeris quæstioni satisfaciet.

Перевод:

Если требуется найти два квадрато-квадрата, разность которых равна разности их сторон, то вопрос может быть решен с помощью нашего метода.

Действительно, пусть нужно найти два квадрато-квадрата, разность которых равна кубу, а разность их сторон 1. Применяя первую операцию, найдем стороны — ⁹/₂₂ и ¹³/₂₂.

Но поскольку первое из этих чисел отмечено знаком —, то следует повторить операцию, следуя нашему методу, приравняв первую сторону x — ⁹/₂₂, вторую x + ¹³/₂₂, и, таким образом мы получим положительные числа, удовлетворяющие задаче.

OBSERVATIO D. P. F XII (p. 148)

Ad commentarium in eamdem quæstionem.

^{QUÆSTIO BACHETI: Invenire duos cubos, quorum intervallum ad intervallum laterum datam habeat rationem, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.}