Ноль: биография опасной идеи

Число i³ равно –i — в 270 градусах от оси x: угол утроился. Число i⁴ = 1. Мы совершили оборот в 360 градусов — ровно в четыре раза больше исходного угла (рис. 34). Это не совпадение. Возьмите любое комплексное число и измерьте угол. Возведение этого числа в степень n увеличивает угол в n раз. И по мере того как вы все больше и больше увеличиваете n, число по спирали движется внутрь или наружу, в зависимости от того, находится ли исходное число внутри или снаружи единичной окружности — окружности с центром в начале координат и с радиусом 1 (рис. 35).

Рис. 35. Спирали внутри и снаружи единичной окружности

Умножение и возведение в степень на комплексной плоскости становятся геометрическими идеями, можно видеть, что происходит. Это было вторым большим продвижением вперед.

Человеком, который объединил эти две идеи, был ученик Гаусса Георг Фридрих Бернхард Риман. Риман объединил проективную геометрию с комплексными числами, и неожиданно прямые превратились в окружности, окружности — в прямые, а ноль и бесконечность стали полюсами шара, полного чисел.

Риман представлял себе прозрачный шар на комплексной плоскости; южный полюс шара касался ноля. Если бы на северном полюсе шара был крошечный источник света, все фигуры, отмеченные на шаре, отбрасывали бы тени на лежащую внизу плоскость. Тень экватора образовывала бы окружность вокруг начала координат. Тень южного полушария находится внутри окружности, а тень северного — снаружи (рис. 36). Начало координат — ноль — совпадает с южным полюсом. Каждая точка на шаре имеет тень на комплексной плоскости; в определенном смысле каждая точка на шаре — эквивалент своей тени на плоскости, и наоборот. Каждая окружность на плоскости есть тень окружности на шаре, и окружность на шаре соответствует окружности на плоскости — за одним исключением.

Рис. 36. Стереографические проекции шара

Если окружность проходит через северный полюс шара, то ее тень больше не окружность, а прямая. Северный полюс подобен бесконечно удаленной точке, как ее представляли себе Кеплер и Понселе. Прямые на плоскости — это просто окружности на сфере, проходящие через северный полюс — бесконечно удаленную точку (рис. 37).

Рис. 37. Прямые и окружности — одно и то же

Как только Риман увидел, что комплексная плоскость (с бесконечно удаленной точкой) — то же самое, что и сфера, математики смогли увидеть умножение, деление и другие, более трудные операции, анализируя, как деформируется и вращается сфера. Например, умножение на число i эквивалентно вращению сферы на 90 градусов по часовой стрелке. Если вы берете число x и заменяете его на (x — 1)/(x + 1), это эквивалентно такому повороту всей сферы на 90 градусов, что северный и южный полюса оказываются на экваторе (рис. 38, 39, 40). Самое интересное, что если вы берете число x и заменяете его на обратную величину 1 / x, это эквивалентно перевороту всей сферы вверх ногами и зеркальному отражению. Северный полюс становится южным, а южный — северным, ноль становится бесконечностью, а бесконечность — нолем. Все это встроено в геометрию сферы, 1 / 0 = ∞ и 1 /∞ = 0. Бесконечность и ноль — просто противоположные полюса сферы Римана и могут мгновенно меняться местами. Они имеют равные и противоположные силы.

Рис. 38. Сфера Римана

Рис. 39. Сфера Римана, трансформированная i

Рис. 40. Сфера Римана, трансформированная (x — 1)(x + 1)

Возьмите все числа на комплексной плоскости и умножьте на 2. Похоже, что вы взялись рукой за южный полюс и растянули резиновое покрытие сферы от южного к северному полюсу. Умножение на ¹/₂ произведет обратный эффект: как будто вы растянули резиновое покрытие от северного полюса к южному. Умножение на бесконечность подобно втыканию иглы в южный полюс: резиновое покрытие все стянется вверх, к северному полюсу: любое число, умноженное на бесконечность, есть бесконечность. Умножение на ноль подобно втыканию иглы в северный полюс, и все стягивается к нолю: любое число, умноженное на ноль, есть ноль. Бесконечность и ноль равны и противоположны и одинаково разрушительны.