Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

Интересную закономерность доказал советский математик Лев Шнирельман: любое натуральное число, большее 28 123, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел. Видите, работают люди с натуральными числами, находят новые закономерности. Нам и далее будут встречаться закономерности и проблемы, связанные со сложением чисел, их называют аддитивными, в отличие от вопросов, связанных с умножением, называемых мультипликативными. Почему-то аддитивных проблем в теории чисел больше, видимо, это заложено в аддитивном принципе получения множества натуральных чисел. Таким образом, Лев Шнирельман доказал одну из аддитивных теорем.

Нельзя обойти вниманием недостаточные числа. Их гораздо больше, чем избыточных, поэтому им всегда уделяли меньше внимания, никакой благотворительности, сами пусть разбираются, почему они недостаточные. Вот сколько недостаточных набралось среди первых пятидесяти чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50. Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных недостаточных чисел. Но обратите внимание, нечетные числа среди недостаточных чисел встречаются гораздо чаще четных в отличие от чисел избыточных. Тоже ведь интересно, почему образовалось такое распределение? Возможно потому, что к недостаточным числам относятся все простые числа (так как у них только один собственный делитель – это единица), а также степени простых чисел и собственные делители недостаточных и совершенных чисел.

Переходим в область редко встречающихся чисел и поговорим о редкостях, превосходящих в своей исключительности даже нечетные избыточные числа. Совершенные числа были известны как древним грекам, так и математикам древнего Востока. До Евклида были известны только два совершенных числа, которые находятся в первой сотне натуральных чисел: 6 и 28. Евклид вывел формулу для получения четных совершенных чисел, он доказал, что четное совершенное число имеет вид 2^p-1·(2^p-1), где p простое число и при этом 2^p-1 также должно быть простым. Используя эту формулу, он нашел третье и четвертое совершенные числа при p=5 и p=7.

2^5-1·(2⁵-1)=16·(32-1)=16·31=496;

2^7-1·(2⁷-1)=64·(128-1)=64·127=8 128.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Все совершенные числа треугольные (об этом дальше). Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел: 1³+3³+5³+ … . Впоследствии Леонард Эйлер строго доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. В первой сотне их оказалось всего два, а далее они отстоят друг от друга все дальше и дальше. Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа. Трудность состояла не в том, чтобы подставить в формулу очередное простое p, а в том, чтобы проверить простоту 2^p-1. Требовались большие по объему вычисления, а вычислительной техники не существовало. Только в XV веке смогли обнаружить пятое совершенное число 33 550 336, соответствующее p=13 в формуле Евклида. Сделал это немецкий математик Региомонтан. В следующем веке немецкий учёный Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют p=17 и p=19. Независимо от него на совершенство этих чисел указывали итальянец Катальди и француз Марин Мерсенн.

Самое любопытное, что четные совершенные числа кроме 6 (а до сих пор не было найдено ни одного нечетного совершенного числа!) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96. Если отбросить наименьшее совершенное число 6, то у всех остальных совершенных чисел цифровой корень равен 1.

С появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. На январь 2018 года известно 50 чётных совершенных чисел. Но по-прежнему неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют.

Проверено, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 10¹⁵⁰⁰; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101. Поэтому не бросайтесь сразу искать нечетное совершенное число, это уже дело компьютерных программ, а не человека.

В природе кроме редких драгоценных камней существуют более распространенные полудрагоценные камни. У нас кроме совершенных чисел будут рассмотрены не совсем совершенные, но их мы отнесем во второй уровень классификации, в виду ослабления характеристического критерия.