Читаем Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения полностью

С древних времен пару чисел 220 и 284 считали символом дружбы. В средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Чем же заинтересовали людей эти два с виду обыкновенных числа?

Список собственных делителей числа 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284.

Список собственных делителей числа 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.

Последователи Пифагора дали этим числам название – дружественные числа. Однако пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Если для двух натуральных чисел сумма собственных делителей первого числа равна второму из этих чисел и наоборот, то такие два числа называются дружественными.

То есть, пару натуральных чисел M, N называют дружественной, если: m1+m2+…+mk=N, n1+n2+…+ni=M, где m1, m2,…,mk собственные делители числа М, n1, n2,…,ni собственные делители числа N.

Многие математики занимались поисками дружественных чисел, хотя большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики. Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Абу-л-Хасан Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел: 17 296 и 18 416; 9 363 584 и 9 437 056. Восток дело тонкое и в Европе об этом узнали гораздо позже того, как сами нашли эти числа. Первым из западных математиков новую пару дружественных чисел нашел француз Пьер Ферма (1601-1665), потом обнаружили, что их упоминал в своем трактате марокканский ученый Ибн аль-Банна аль-Гарани (1256-1321). Через два года после Ферма еще одну пару нашел Рене Декарт. После Декарта великий Леонард Эйлер нашел свой критерий, с помощью которого смог пополнить множество дружественных чисел на несколько десятков. Пишу так расплывчато, потому что в разных источниках упоминается разное количество пар дружественных чисел найденных Эйлером.

Указанные выше две пары дружественных чисел фактически не являются второй и третьей, по величине входящих в них чисел, так как многие гораздо меньшие пары дружественных чисел были пропущены и вторая пара по величине: 1184 и 1210, а пара 17 296 и 18 416 стоит в последовательности на восьмом месте. Пару дружественных чисел 1184 и 1210 пропустили Ферма, Декарт и Эйлер, а обнаружил ее в 1866 году 16-летний итальянский школьник – Никколо Паганини – полный тёзка великого скрипача. Школьник потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа. Вот так делаются открытия во множестве натуральных чисел!

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. В различных источниках называется разное количество найденных пар дружественных чисел, где-то называют 400, где-то 1100 пар, а в Википедии сказано, что на апрель 2016 года известно более миллиарда пар дружественных чисел. Среди них преобладают пары четных чисел, но встречаются и нечетные пары, например седьмая пара: 12 285 и 14 595. Пока не найдена четно-нечетная пара, и поэтому неизвестно, существует ли такая смешанная пара дружественных чисел. Неизвестно существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел.

<p>Критерий – разложение на множители</p>

На стыке теории чисел и геометрии рассмотрим так называемые фигурные числа. Это понятие было введено последователями Пифагора. Они представляли собой некое философско-религиозное сообщество, занимавшееся многими науками, в частности они изучали свойства чисел. Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел.

Линейные числа – числа, не разлагающиеся на сомножители большие единицы, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, … .

Плоские числа – числа, составные, представимые в виде произведения двух сомножителей больших единицы: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, … .

Телесные числа – числа, представимые произведением трёх сомножителей больших единицы: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, … .

Эти определения приводятся в «Началах» Евклида. Мне не очень нравится, что при подобном подходе многие числа попадают одновременно в два различных вида. Например, 8=2·4=2·2·2, 12=2·6=3·4=2·2·3, 18=2·9=3·6=2·3·3 и так далее.

<p>Критерии – геометрическая интерпретация</p>
Перейти на страницу:

Похожие книги

1917–1920. Огненные годы Русского Севера
1917–1920. Огненные годы Русского Севера

Книга «1917–1920. Огненные годы Русского Севера» посвящена истории революции и Гражданской войны на Русском Севере, исследованной советскими и большинством современных российских историков несколько односторонне. Автор излагает хронику событий, военных действий, изучает роль английских, американских и французских войск, поведение разных слоев населения: рабочих, крестьян, буржуазии и интеллигенции в период Гражданской войны на Севере; а также весь комплекс российско-финляндских противоречий, имевших большое значение в Гражданской войне на Севере России. В книге используются многочисленные архивные источники, в том числе никогда ранее не изученные материалы архива Министерства иностранных дел Франции. Автор предлагает ответы на вопрос, почему демократические правительства Северной области не смогли осуществить третий путь в Гражданской войне.Эта работа является продолжением книги «Третий путь в Гражданской войне. Демократическая революция 1918 года на Волге» (Санкт-Петербург, 2015).В формате PDF A4 сохранён издательский дизайн.

Леонид Григорьевич Прайсман

История / Учебная и научная литература / Образование и наука
1221. Великий князь Георгий Всеволодович и основание Нижнего Новгорода
1221. Великий князь Георгий Всеволодович и основание Нижнего Новгорода

Правда о самом противоречивом князе Древней Руси.Книга рассказывает о Георгии Всеволодовиче, великом князе Владимирском, правнуке Владимира Мономаха, значительной и весьма противоречивой фигуре отечественной истории. Его политика и геополитика, основание Нижнего Новгорода, княжеские междоусобицы, битва на Липице, столкновение с монгольской агрессией – вся деятельность и судьба князя подвергаются пристрастному анализу. Полемику о Георгии Всеволодовиче можно обнаружить уже в летописях. Для церкви Георгий – святой князь и герой, который «пал за веру и отечество». Однако существует устойчивая критическая традиция, жестко обличающая его деяния. Автор, известный историк и политик Вячеслав Никонов, «без гнева и пристрастия» исследует фигуру Георгия Всеволодовича как крупного самобытного политика в контексте того, чем была Древняя Русь к началу XIII века, какое место занимало в ней Владимиро-Суздальское княжество, и какую роль играл его лидер в общерусских делах.Это увлекательный рассказ об одном из самых неоднозначных правителей Руси. Редко какой персонаж российской истории, за исключением разве что Ивана Грозного, Петра I или Владимира Ленина, удостаивался столь противоречивых оценок.Кем был великий князь Георгий Всеволодович, погибший в 1238 году?– Неудачником, которого обвиняли в поражении русских от монголов?– Святым мучеником за православную веру и за легендарный Китеж-град?– Князем-провидцем, основавшим Нижний Новгород, восточный щит России, город, спасший независимость страны в Смуте 1612 года?На эти и другие вопросы отвечает в своей книге Вячеслав Никонов, известный российский историк и политик. Вячеслав Алексеевич Никонов – первый заместитель председателя комитета Государственной Думы по международным делам, декан факультета государственного управления МГУ, председатель правления фонда "Русский мир", доктор исторических наук.В формате PDF A4 сохранен издательский макет.

Вячеслав Алексеевич Никонов

История / Учебная и научная литература / Образование и наука