Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

ВОЗМОЖНЫЕ МАРШРУТЫ

Формула, выражающая количество всех возможных маршрутов для n вертикальных и m горизонтальных движений, выглядит следующим образом:

Здесь n! означает факториал числа n, который равен n ·(n-1)·(n-2)·…·2·1. Например, 5! = 5–4 — 3–2 — 1 = 120. В нашем примере формула записывается так:

возможных маршрутов.

* * *

Расстояние такси

Расстояние, которое изучается в школе, является евклидовым расстоянием. Оно находится по теореме Пифагора, поэтому расстояние между двумя точками Р и Q с координатами Р = (x₁, y₁) и Q = (x₂, у₂) выражается следующей формулой:

В отличие от евклидова расстояния, минимальное расстояние в городе с прямоугольной сеткой улиц считается как d_T(P, Q) = |x₂ — x₁| + |y₂ — y₁|

* * *

АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Выражение |А| означает «абсолютное значение числа А», которое получается путем игнорирования знака числа. Если число А положительно, то |А| = А, а если число А отрицательно, то |А| = — А, например, |-5| = 5.

* * *

Это альтернативное расстояние называется манхэттенским расстоянием, или расстоянием Минковского, в честь немецкого математика Германа Минковского.

На более популярном языке это расстояние называют также расстоянием такси. На рисунке ниже пунктирная линия отмечает евклидово расстояние, а сумма длин вертикальных и горизонтальных отрезков соответствует расстоянию такси.

Если точка С является началом координат, то точка А имеет координаты (2, 1), а точка В — координаты (0, 5). Таким образом, евклидово расстояние составляет 4,47 единиц, а расстояние такси — 6 единиц. Обратите внимание, что положение начала координат не влияет на результат при расчете расстояний.

В математике метрикой или расстоянием между двумя точками А и В называется такое соотношение, которое удовлетворяет условиям положительности, симметрии и неравенства треугольника. А именно,

1) (A, В) >= 0, и из (A, В) = 0 следует, что А = В;

2) (A, В) = (В, A);

3) (А, В) =< (А, С) + (С, В).

Евклидово расстояние d(A, В) и расстояние такси d_t(A, В) — два примера расстояний, которые удовлетворяют указанным выше условиям. В общем случае d(A, В) =< d_T(A, В).

* * *

ГЕРМАН МИНКОВСКИЙ (1864–1909)

Немецкий математик Герман Минковский разработал геометрическую теорию чисел — геометрический метод решения задач из теории чисел. В 1907 г. он понял, что специальная теория относительности Эйнштейна может быть лучше выражена в терминах неевклидовой геометрии четырехмерного пространства. Это пространство с тех пор называется пространством Минковского. В нем время и пространство являются взаимосвязанными измерениями и образуют четырехмерное пространство, так называемое пространство-время. Именно таким подходом позже воспользовался Эйнштейн при работе над общей теорией относительности.

* * *

Пример с треугольниками

В евклидовой геометрии имеется признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, который работает следующим образом.

Пусть у нас имеются два треугольника АВС и А₁В₁С₁ со сторонами соответственно АВ, АС, ВС и А₁В₁, A₁C₁, B₁C₁. Тогда, если АВ = A₁B₁, АС = А₁С₁ и угол ВАС равен углу В₁A₁С₁, то сторона ВС равна стороне B₁C₁, то есть треугольники равны.

Другими словами, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то третьи стороны в треугольниках также будут равны. Такие треугольники равны. Однако этот очевидный результат оказывается ложным в геометрии такси.

Рассмотрим треугольники с вершинами А = (3,1), В = (1, 3), С = (5, 3) и А₁ = (4, 4), В₁ = (8, 4), С₁ = (4, 0), как изображено на рисунке:

Можно показать, что

d_T(A, B) = 4 = d_T(A₁, B₁),

а также

d_T(A, C) = 4 = d_T(A₁, C₁),