Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Только что мы последовали путем гауссовой логики, чтобы получить сумму первой сотни простых чисел. Но что, если нам нужна сумма 17 из них? Или тысячи? Миллиона? Логика Гаусса позволяет подсчитывать сумму первых n чисел, где n – любое нужное вам количество! Некоторым людям легче разобраться с математическими абстракциями, если они могут их визуализировать. К примеру, числа 1, 3, 6, 10 и 15 иногда называют треугольными, потому что, заменив их соответствующим количеством кружков, можно легко сложить треугольники, вроде того, что изображен чуть ниже (конечно, один кружок треугольником можно назвать с очень большой натяжкой, но число 1, несмотря на это, все же считается треугольным). Согласно определению, треугольное число n равняется 1 + 2 + 3 +… + n.

Посмотрите, что произойдет, если мы расположим два треугольника основаниями друг к другу, вот так:

У нас получился прямоугольник из 5 рядов и 6 столбцов – всего 30 кружков. Значит, в каждом из двух наших треугольников была половина общего их количества, то есть по 15 кружков. Мы, это, разумеется, уже знаем, но давайте применим этот же принцип к двум прямоугольникам, количество рядов в которых равно n. Точно так же составим из них прямоугольник с n рядов и n + 1 столбцов. Кружков в нем будет n × (n + 1) – ну или в более привычной записи – n(n + 1). В результате мы получим формулу, которая позволит нам подсчитывать сумму первых n чисел:

Видите, закономерность, которую мы использовали для сложения первой сотни чисел, вполне применима к любому подобному ряду, сколько бы членов в него ни входило. И если вдруг нам понадобится сложить между собой все числа от 1 до 1 000 000, сделать это можно будет всего за два шага: перемножив 1 000 000 и 1 000 001 и разделив результат пополам.

Разобравшись в одной формуле, вы с легкостью разберетесь и в остальных. Например, если мы удвоим обе части последнего уравнения, получится формула суммы первых n четных чисел:

2 + 4 + 6 +… + 2n=n(n+ 1)

А как насчет суммы первых нечетных, спрóсите вы? Давайте посмотрим, что говорят нам числа.

То, что справа – квадраты целых чисел. 1 × 1; 2 × 2; 3 × 3 и т. д. Сложно не заметить следующую закономерность: сумма первых n нечетных чисел равняется n × n. Или n². Но что, если это просто совпадение? Чуть позже, в главе 6, мы с вами увидим несколько путей развития этой формулы, но уже и сейчас понятно, что у такой простой закономерности должно быть не менее простое объяснение. Самое мое любимое – методом подсчета кружков: он наглядно показывает, почему числа вроде 25 называются квадратами. Но почему вдруг мы должны складывать первые 5 нечетных чисел с 5²? А просто посмотрите на квадрат размером 5 на 5:

Кружков в нем 5 × 5 = 25, это очевидно. Но давайте подсчитаем иначе. Начнем с одинокого кружка в левом верхнем углу. Его окружают 3 кружка, потом 5, потом 7 и, наконец, 9. Следовательно,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

И возьми мы квадрат со сторонами n на n, его можно будет легко разбить на n-ное количество L-образных секторов, в каждом из которых будет соответственно 1, 3, 5…., (2n – 1) кружков. Это и есть формула суммы первых n нечетных чисел