Читаем Магия чисел полностью

Если приближенный ответ для задачи на умножение получен путем округления большего числа в большую сторону и меньшего в меньшую, то он будет несколько занижен. Если округлить большее число в меньшую сторону, а меньшее в большую (тогда, возможно, числа станут достаточно близкими), приближенный ответ получится слегка завышенным.

Чем больше величина, на которую вы округляете в ту или иную сторону, тем большее отклонение будет иметь приближенная оценка. Например:

Поскольку после округления числа стали близки друг к другу, приближенная оценка получилась слегка завышенной.

Так как перемножаемые числа не близки друг к другу, приближенная оценка ответа занижена, но ненамного. Нетрудно заметить, что метод приближенной оценки весьма эффективно работает для примеров на умножение. Кроме того, обратите внимание, что данный пример — это задача на возведение в квадрат 672, и наше приближение — всего лишь первый шаг в технике возведения в квадрат. Рассмотрим еще один пример.

Заметим, что приближение будет наиболее точным, когда исходные числа близки друг к другу. Попробуйте оценить ответ для задачи типа «3 на 2».

Путем округления 63 до 60 и 728 до 731 создается задача на умножение типа «3 на 1», что отдаляет приближенную оценку на величину 2004 от точного ответа. Здесь погрешность составляет 4,3 %.

Попробуйте дать приблизительную оценку следующей задаче «3 на 3».

Как видите, хотя мы округлили оба числа на 8 в разные стороны, приближенный ответ отклоняется более чем на 1000 от точного значения. Так происходит потому, что перемножаемые числа в данной задаче большие и число, на которое они округляются, тоже большое. Поэтому получившаяся в результате оценка будет отклоняться на бóльшую величину. Но относительная погрешность по-прежнему меньше 1 %.

Насколько далеко можно зайти, используя систему приближенной оценки для задач на умножение? На столько, на сколько пожелаете. Просто нужно знать названия больших чисел. Тысяча тысяч — это миллион, тысяча миллионов — миллиард. Зная это, попробуйте решить задачу со следующими числами.

Как и ранее, она сводится к округлению чисел, для того чтобы они стали простыми, такими как 29 000 000 и 14 000.

Отбросив все нули, получим обычную задачу «2 на 2»: 29 х 14 = 406 (29 х 14 = 29 х 7 х 2 = 203 х 2 = 406). Следовательно, ответ равен приблизительно 406 миллиардам, так как тысяча миллионов — это миллиард.

ОЦЕНКА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ: ДЕЛЕНИЕ И УСРЕДНЕНИЕ

Корень квадратный из n (обозначается ) — это число, которое при умножении само на себя дает n. Например, квадратный корень из 9 равен 3, поскольку 3 х 3 = 9. Квадратный корень используется при решении многих научных и инженерных задач и почти всегда рассчитывается на калькуляторе.

Следующий метод обеспечивает точную оценку ответа.

При оценке квадратного корня основная цель — найти число, которое при умножении само на себя приближается к исходному. Так как квадратный корень из большинства чисел не целое число, ваша оценка, вероятно, тоже будет содержать дробную часть.

Начнем с приближенной оценки квадратного корня из 19.

Первое действие — выяснить, какое число при умножении само на себя будет максимально приближаться к 19. Берем два возможных варианта: 4 х 4 = 16 и 5 х 5 = 25. Так как 25 слишком много, ответ должен быть 4 плюс «что-то». Следующий шаг — деление 19 на 4, дающее 4,75. Поскольку 4 х 4 меньше, чем 4 х 4,75 = 19 (что, в свою очередь, меньше произведения 4,75 х 4,75), получается, что 19 (или 4 х 4,75) находится между 42 и 4,752. Следовательно, квадратный корень из 19 лежит где-то между 4 и 4,75.

Я бы предположил, что он будет посередине, на отметке 4,375. В действительности это 4,359, так что наша оценка довольно близка к истинному значению. Проиллюстрируем данную процедуру следующим образом.

На самом деле данный ответ можно получить другим, более простым способом. Мы знаем, что 4 в квадрате равно 16, что меньше 19 на 3 единицы. Чтобы уточнить нашу оценку, прибавим к ней погрешность, деленную на удвоенное предположение. То есть к 4 прибавим 3, деленное на 8, чтобы получить 4⅜= 4,375. Заметим, что этот метод всегда будет давать ответ немного больше точного.

Теперь попробуйте решить более сложный пример. Чему равен квадратный корень из 87?

Сначала определим приблизительный итог исходя из того, что 9 х 9 = 81 и 10 х 10 = 100. Это означает, что ответом будет 9 с хвостиком. Поделив 87 на 9 (до десятых), получим 9,66.

Чтобы улучшить приближенную оценку, возьмем среднее между 9 и 9,66, которое равно 9,33 — точный квадратный корень из 87, округленный до десятых! Другим способом приближенная оценка равна 9 + (погрешность)/18 = 9 + 6/18 = 9,33.

Перейти на страницу:

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное