Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Пусть 10 ≤ x < y < z < t ≤ 99—искомые номера, тогда t = x + y + z. Поскольку математик с номером t знает числа x < y < z, число z − x − y двузначно и отлично от x и y. Но тогда z = x + y + (z − x − y) ≥ 10 + 11 + 12 = 33. Заметим еще, что t = z + y + x ≥ z + 11 + 10, то есть t ≥ z + 21. Математик с номером x знает числа y < z < t, значит, y + z + t ≤ 99. Сложив это неравенство с неравенствами 11 ≤ y и z + 21 ≤ t, получим 2z ≤ 67, откуда z ≤ 33. Значит, z = 33. Далее, t = x + y + z > 10 + y + 33 = 43 + y, поэтому 99 > y + z + t > y + 33 + (43 + y) = 76 + 2y. Отсюда 2y ≤ 23, то есть y ≤ 11. Значит, y = 11, x = 10, z = 33 и t = 10 + 11 + 23 = 54. Нетрудно убедиться, что этот набор удовлетворяет условию.

Ответ. 10, 11, 33 и 54.

Д57. Пусть x, y, z – числа, написанные на лбу первого, второго и третьего логика соответственно.

Вначале с точки зрения первого логика возможны варианты x = y + z и x = |y − z|. Поэтому первый логик сможет догадаться, какое у него число, только если y = z. Значит, после первого высказывания все знают, что y ≠ z.

Теперь с точки зрения второго логика возможны такие варианты: y = x + z и y = |x − z|, причем y ≠ z. Поэтому второй логик сможет догадаться, какое у него число, только если x = z или x = 2z. Значит, после второго высказывания все знают, что x ≠ z и x ≠ 2z.

Тогда с точки зрения третьего логика возможны такие варианты: z = x + y и z = |x − y|, причем z не равно ни одному из чисел y, x или x/2. Поэтому третий логик сможет догадаться, какое у него число, только если x  {y, 2y, y/2, 2y/3}. Значит, после третьего высказывания все знают, что x  {y, 2y, y/2, 2y/3}.

Теперь с точки зрения первого логика возможны варианты x = y + z и x = |y − z|. При этом известно, что x /2 {y, 2y, y/2, 2y/3, z, 2z} и y ≠ z. Поэтому первый логик сможет догадаться, какое у него число, только если y + z или |y − z| равно одному из чисел y, 2y, y/2, 2y/3, z, 2z и y ≠ z. Это возможно, только если y − z равно одному из чисел y/2, 2y/3, z, 2z, −y, −2y, −y/2, −2y/3. В этих случаях x = y + z и равно 3y/2, 4y/3, 3z, 4z, 3y, 4y, 5y/2, 8y/3 соответственно. Поскольку 50 не делится ни на 3, ни на 4, то имеет место случай x = 5y/2. Тогда y = 20, z = 30.

Ответ. У второго 20, у третьего 30.

Авторы задач

Заметная часть вошедших в этот выпуск задач являются по сути техническими упражнениями, придуманными специально для данного занятия. Другие, напротив, так давно вошли в математический фольклор, что их авторство установить затруднительно. Ниже указаны известные нам авторы задач, позаимствованных из классической литературы и математических соревнований.

М. Гарднер: 7.12.

А. В. Грибалко: 7.13.

С. В. Грибок: Д54.

К. А. Кноп: 10.12, Д52, Д55.

А. Н. Печковский: 7.14.

И. В. Раскина: 4.18, 9.11.

A. И. Сгибнев Д43.

Р. М. Смаллиан: 4.13, 4.14, 4.15, 9.5, 9.6.

B. А. Уфнаровский, А. Я. Канель-Белов: Д36.

Б. Р. Френкин: Д35.

А. С. Чеботарев: Д39.

А. В. Шаповалов: 8.10, 9.10, Д44, Д46, Д47, Д56, Д57.

Д. Э. Шноль: 9.3, 9.8, Д43.

Литература

1. Р. М. Смаллиан. Как же называется эта книга? – М.: Издательский дом Мещерякова, 2008.

2. Р. М. Смаллиан. Принцесса или тигр? – М.: Мир, 1985.

3. Л. Кэрролл. Логическая игра. – М.: Наука, 1991.

4. М. Милг. Что сказал проводник? // Квант. – 1973. – № 8.– С. 38.

Раздаточный материал

Занятие 1. Легко ли быть рыцарем, или Высказывания и их отрицания

Задача 1. Являются ли высказываниями следующие предложения?

1. Семеро одного не ждут.

2. У кошки четыре ноги.

3. 1 января 2001 года был вторник.

4. Любое четное число, не меньшее 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел

5*. Это утверждение истинно.

Задача 2. Являются ли противоположными высказывания:

1) «Вчера светило солнце» и «Вчера шел дождь»;

2) «Я умею прыгать через лужи» и «Я не умею прыгать через лужи»?

Задача 3. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что…»:

1) Я встретил Вас.

2) Трудно быть богом.

Задача 4*. Британские ученые нашли древнюю рукопись, содержащую всего два утверждения:

1) Оба утверждения этой рукописи ложны.

2) Земля имеет форму чемодана.

Какой вывод можно сделать из этой рукописи?

Задача 5. Объясните, почему данные предложения не являются высказываниями. Можете ли вы сконструировать аналогичные по смыслу высказывания? Как вы думаете, истинны ли они?

1. Семь раз отмерь, один раз отрежь.

2. Что нам стоит дом построить: нарисуем – будем жить.

3. Шел дождь.

Задача 6. Придумайте несколько высказываний и несколько предложений, не являющихся высказываниями.

Задача 7. Являются ли противоположными высказывания:

1) «Нельзя пользоваться калькулятором на уроках математики» и «На уроках математики можно пользоваться калькулятором»;

2) «Андрей выше Мити» и «Митя выше Андрея»?

Задача 8. Постройте отрицания к высказываниям, не пользуясь оборотом «Неверно, что…»:

1) Завтра дальняя дорога выпадает королю.

2) У него деньжонок много.

3) А я денежки люблю.