Читаем Логика для всех. От пиратов до мудрецов полностью

В обоих случаях названный Лешей «не свой» набор пересекается с Гришиным как минимум по двум картам, поэтому Гриша тоже узнает, какой на самом деле набор у Леши. Докажем, что Коле ничего не ясно. Действительно, и в том, и в другом случае названо три набора карт: А, В и С. Наборы В и С пересекаются по двум картам, Гриша сказал: «У меня либо А, либо В», Леша сказал: «У меня либо А, либо С». Это означает, что либо у Гриши набор А, а у Леши – С, либо у Гриши – В, а у Леши – А. Поэтому три карты из набора А и две карты из пересечения наборов В и С могут оказаться как у Гриши, так и у Леши (в нашем примере это карты 1, 2, 3, 4 и 5). А из остальных двух карт наборов В и С (в нашем примере 6 и 0) одна закрытая, другая – у одного из игроков. Поэтому местоположение никакой из карт Коля вычислить не может.

2) Заметим, что предыдущий способ не работает: зная закрытую карту, Коля может всё определить.

Пусть Гриша занумерует карты числами от 0 до 6 (и объявит об этом вслух). Затем пусть Гриша и Леша по очереди назовут остатки от деления суммы номеров своих карт на 7. Тогда они узнают расклад: ведь остаток суммы Гриши плюс остаток суммы Леши плюс номер спрятанной карты должны давать 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0 (mod 7). Так, например, если у Леши карты 1, 3, 4, а Гриша назвал остаток 4, то спрятана карта —4 – (1 + 3 + 4) = 2 (mod 7), значит, у Гриши карты 0, 5, 6.

Проверим, что Коля ничего не узнал. Его информация исчерпывается Гришиной суммой g и Колиной картой к (а Лешину сумму теперь Коля и сам может вычислить). Рассмотрим любую другую карту, пусть ее номер х. Покажем, что она входит в какой-нибудь набор из трех карт с суммой g, не содержащий к. Для этого дополним х парой карт с суммой номеров g – х. Таких пар ровно три при любом значении g – х (доказательство см. ниже). Из них две, возможно, не подходят из-за того, что туда входит карта с номером s или к, но как минимум одна пара остается. С ее помощью мы и создадим набор для Гриши (а набор для Леши получится автоматически). Например, если х = 3, то в нашем случае при g = 4 надо найти пару с суммой 4–3 = 1. Таких пар три: 1 = 0 + 1 = 2 + 6 = 3 + 5 (mod 7). Из них подходит только (0, 1}, то есть у Гриши мог быть набор 0, 1, 3.

Итак, любая карта могла оказаться у Гриши. Такие же рассуждения показывают, что любая карта могла оказаться и у Леши. Поэтому местоположение никакой из карт Коля вычислить не может.

Осталось доказать, что неупорядоченных пар с нужной суммой s всегда три. Есть семь упорядоченных пар (0, s), (1, s — 1)…, (6, s — 6). Из них ровно в одной оба остатка одинаковы, поскольку уравнение 2х = s имеет, ввиду взаимной простоты чисел 2 и 7, ровно одно решение. Из неупорядоченной пары с разными остатками получается ровно две упорядоченных, поэтому неупорядоченных пар вдвое меньше, чем упорядоченных, то есть ровно 3.

Ответ. Могут в обоих случаях.

Д45. Из Петиных слов следует, что он не комиссар. Возможны два случая:

1) Петя – мафиози. Тогда он лжет и на самом деле знает, кто Дима, поэтому Дима – второй мафиози.

2) Петя – мирный житель.

Информации, которую Дима мог бы извлечь из Петиного высказывания, недостаточно, чтобы догадаться, кто комиссар. Поэтому если Дима говорит правду, то он сам и есть комиссар. А если лжет, то он – мафиози.

Если бы Миша был мирным жителем, он к этому моменту еще не мог понять, кто Петя: мирный житель или мафиози. Если Петя и Дима – два мафиози, то Миша комиссар; если Петя – мирный житель, а Дима – комиссар, то Миша – мафиози; если Петя – мирный житель, а Дима – мафиози, то Миша – комиссар или мафиози.

Теперь видно, что Саша, будучи мирным жителем, не может быть уверен, что Миша – комиссар. А комиссар никого другого назвать комиссаром не может. Значит, Саша – мафиози.

Теперь ясно почти все: Петя – мирный житель, Саша– первый мафиози, Дима и Миша – комиссар и второй мафиози (в произвольном порядке), а Илья – мирный житель.

Ответ. Мирный житель.

Д46. Обсуждение. Пусть дочь полковника звали Кити, а гусаров – Алексей, Борис и Виктор. О чем имеет смысл спрашивать гусаров? Либо сразу о том, кто кому бросал цветок, либо для начала о том, в каком порядке они ехали (ведь последний знает про всех, кроме себя). Оба пути приводят к верному решению. Только надо понимать, что на прямой вопрос «Кто ехал последним?» гусар не может ответить (все три ответа «Так точно», «Никак нет» и «Не могу знать» не подходят).

Решение 1. Сначала спросим Алексея: «Ехал ли Борис впереди Виктора?» Ответ однозначно определяет, кто передний: «Так точно» – Борис, «Никак нет» – Виктор, «Не могу знать» – Алексей.

Рассмотрим случай, когда информации минимум – то есть передний Алексей. Спросим у Бориса, бросила ли Кити цветок Виктору. При ответе «Так точно» цветок от Кити у Виктора. При ответе «Никак нет» полковник спрашивает Бориса, бросила ли Кити цветок Алексею. При ответе «Так точно» цветок от Кити у Алексея, при ответе «Никак нет» – у Бориса.

Перейти на страницу:

Все книги серии Школьные математические кружки

Логика для всех. От пиратов до мудрецов
Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Четырнадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена логическим задачам и является продолжением ранее вышедшей книжки И. В. Раскиной и Д. Э. Шноля «Логические задачи» (выпуск 11).В книжку вошли разработки десяти занятий математического кружка с примерами задач различного уровня сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Приведен также большой список дополнительных задач. Ко всем задачам приведены ответы и подробные решения или указания к решениям.Особенностью книжки является наличие игровых сценариев к отдельным задачам и целому занятию, реализация которых поможет лучшему освоению материала.Для удобства использования заключительная часть книжки сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям логики.

Инесса Владимировна Раскина

Математика

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное