Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Некоторые из этих результатов представлены в верхней части таблицы 1 на с. 198. Поскольку реальные значения фактора Мандельброта невозможно привести с высокой точностью, я не даю никаких конкретных численных оценок. Вместо этого я разбил сети на три группы: те, у которых фактор Мандельброта существенно меньше 1 (слабо хаотичные), те, у которых он близок к 1 (пограничное состояние с точки зрения наличия или отсутствия стандартного отклонения), и те, у которых этот фактор существенно превышает 1 (следовательно, у них даже в теории не существует стандартного отклонения). Так как оценки приблизительны, принадлежность сетей к этим группам не следует считать абсолютно точной. Тем не менее эта таблица дает хорошее представление о степени дикости хаоса в различных областях.

В нижней части таблицы я перечислил несколько явлений, не относящихся к сетям, но имеющим приблизительно масштабно-инвариантное распределение, — как это было с озерами в начале этой главы. Эти примеры показывают, что масштабная инвариантность проявляется не только в структуре сетей и завораживающих геометрических свойствах фракталов, но и во многих других формах. Из таблицы можно увидеть, насколько хаотичными могут быть некоторые явления в биологии, социальных взаимодействиях, технике и экономике. Например, биологическая пищевая цепочка не относится к Тихонии, но тем не менее обладает очень слабой хаотичностью. Сеть сексуальных связей находится в противоположном конце спектра. Она даже более хаотична, чем могло бы предположить большинство людей, — хотя, если исключить из рассмотрения случаи проституции, а также сатириаза и нимфомании, оставшаяся сеть хорошо укладывается во вторую группу, что соответствует достаточно высокому уровню хаотичности.

Таблица 1. Порядок величины фактора Мандельброта для некоторых сетей и явлений

Возможно, покажется удивительным, что факторы Мандельброта природных и человеческих сетей часто близки к 1. Стоит отметить, что принцип Парето (или правило 80/20), который я описал в главе 5, справедлив при факторе Мандельброта, равном 1 (или чуть меньше). Следовательно, имеющиеся у нас сейчас результаты лишний раз подтверждают правило 80/20 и помогают определить область его действия.

Что касается случаев, в которых фактор Мандельброта больше 1, то несколько сетей и явлений, которые мы раньше считали — исходя из веских теоретических оснований — масштабно-инвариантными, оказываются в категории феноменов еще более экстремальных. Например, область человеческих талантов справедливо отнести не к умеренно дикому миру, но к миру истинно дикому, и для ее описания мы используем распределение Коши. Талант может проявляться множеством поразительно разных образов, и диапазон талантливости конкретных людей может быть на удивление широким.

Такого же рода дикость обнаруживается в списках адресатов электронной почты; они образуют сеть даже не масштабно-инвариантную, а еще более хаотичную. Это особенно интересно, потому что из нашей таблицы видно, что сам обмен сообщениями электронной почты оказывается безмасштабным, и его фактор Мандельброта не особенно велик. Гораздо более хаотичная сеть образуется за счет адресатов, с которыми мы на самом деле не переписываемся, но которые каким-то образом оказываются в нашей адресной книге. Эта более дикая сеть не фигурирует в таблице. В число других явлений, слишком диких для классификации в этой таблице, входят масштабы лесных пожаров и численность видов птиц в Америке. Дикость их распределений оказывается выше безмасштабного уровня[102].

Тихонская жизнь в Диконии

В Диконии есть сравнительно тихие — или тихо-дикие — территории, которые, в свою очередь, могут быть умеренно дикими в разной степени; этот диапазон отражается в соответствующих значениях фактора Мандельброта. Некоторые из этих территорий настолько тихи, что у соответствующих им явлений даже есть стандартное отклонение; другие могут быть настолько более дикими, что ни о каком стандартном отклонении не может быть и речи. Но у всех умеренно диких областей есть общий руководящий принцип — масштабная инвариантность.

Однако в областях по-настоящему диких не только не действуют такие основополагающие понятия статистики, как стандартное отклонение, но исчезает и масштабная инвариантность явлений. Пока что мы не знаем никакого общего руководящего принципа, который позволил бы найти хотя бы приблизительное численное выражение таких явлений. Некоторые из них достаточно хорошо моделируются распределением Коши, но само это распределение слишком дико, чтобы из него можно было получать сколько-нибудь полезные на практике предсказания.