Льюис Кэрролл: Досуги математические и не только

(2) Правило нахождения частного и остатка от деления данного числа на 11.

Чтобы найти «остаток-11», начинаем от разряда единиц и суммируем первую, третью и т. д. цифры, а также вторую, четвёртую и т. д.; находим «остаток-11» по разности этих сумм. Если первая сумма — большая, полученное таким образом число и будет искомым остатком; если же первая сумма — меньшая, искомый остаток будет разностью между полученным числом и числом «11»; если суммы равны, он есть 0.

Чтобы найти «частное-11», проводим черту под нашим числом и ставим его «остаток-11» под разрядом единиц; затем вычитаем <обычным порядком>, ставя разность под следующей цифрой, и так далее. Конечное вычитание должно дать в остатке 0. Теперь отчеркнём наш «остаток-11» на правом конце нижней строки, и оставшееся будет «частным-11».

Примеры.

Эти новые Правила имеют ещё одно преимущество перед правилом подлинного деления, а именно что конечное вычитание обеспечивает нас критерием корректности результата: если оно не даёт в остатке 0, суммирование выполнено неверно, а если даёт, то либо суммирование выполнено верно, либо мы допустили две ошибки, — случай редкий.

Математикам не нужно и говорить, что правила, аналогичные вышеизложенным, с необходимостью будут действовать и для таких делителей, как 99, 101, 999, 1001 и т. д. Единственное видоизменение, которое необходимо будет внести — это разбить данное число на периоды по две или более цифр и обращаться с каждым таким периодом точно так же, как вышеизложенные правила требовали поступать с отдельными цифрами. Вот, для примера, целиком решение, требуемое для деления двух данных чисел на 999 и на 1001:

В первом из этих примеров число 2|437, написанное поверх, есть сумма по периодам. Поскольку она содержит 2 периода, поступаем с ней тем же образом, и итог, число 439, есть «остаток-999».

Во втором примере число 1|2269, написанное поверх, есть сумма первого и третьего периодов; число же 1383 есть сумма второго и четвёртого. Разность этих сумм равна 10886, чей «остаток-10001» равен 885 [5].

§2. Делитель вида (h10ⁿ ± k), в котором по крайней мере одно из двух чисел, h и k, больше 1 [6]

Способ, к которому мы приступаем теперь, приложим к трём отличным случаям:

(1) когда h > 1, k  = 1;   

(2) когда h = 1, k > 1;

(3) когда h > 1, k > 1.

При определённых ограничениях в отношении величин h, k и n, этот Способ окажется более короткой и более надёжной процедурой, чем обычное деление столбиком. Ограничения эти таковы: ни h, ни k не должны превышать 12, и когда k > 1, n не должно быть меньше, чем 3; вне этих ограничений нашему Способу присущи трудности, которые делают предпочтительной обычную процедуру.

При данном Способе требуются две раздельные процедуры — одна предназначена для случаев, когда h > 1, другая же для случаев, когда k > 1. Первая из этих процедур была, я полагаю, впервые открыта мной, а вторая — моим племянником, мистером Бертрамом Дж. Коллингвудом, который сообщил мне свой Способ, пригодный для делителей вида 10ⁿ – k.

В нижеследующем изложении я заменяю «10» буквой t [7].

Способ мистера Коллингвуда для делителей вида tⁿ – k может быть изложен следующим образом:

«Чтобы разделить данное число на tⁿ – k, отделяем в нём период из n цифр, начиная от разряда единиц, а затем записываем под ним увеличенное в k раз число, остающееся от первоначального при вычёркивании этого периода. Если это число содержит более чем n цифр, поступаем с ним тем же образом — и так далее, пока не будет достигнуто число, содержащее менее n цифр. Затем всё суммируем снизу доверху. Если последний период итога плюс увеличенная в k раз цифра, что была заимствована у него в процессе суммирования, будет меньше, чем наш делитель, то это и есть искомый остаток; оставшаяся часть итога есть искомое частное. Если этот [период] не меньше [делителя], то находим, какое количество раз он вмещает делитель, прибавляем это количество к частному и вычитаем это кратное делителя из остатка».

Например, чтобы разделить число 86781592485703152764092 на 9993 (то есть на t⁴ – 7), действуем так:

Этот новый Способ лучше всего прояснить, если начать со случая (3); легко будет видеть, какие изменения следует в нём произвести, когда дело перейдёт на случаи (1) и (2).

Правило для случая (3) и при знаке «–», может быть изложено так.

Разбить делимое, начиная с разряда единиц, на периоды по n цифр. При наличии с левой стороны избытка, меньшего, чем h, его не отграничивать, но отнести его и соседние n цифр к одному периоду.