Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

1

(x₁A₁+…+x_nA_n)ⁿ

.

Более подробную сводку формул можно найти в обзоре [209].

Приведем значения некоторых определенных интегралов

∫

¹

 

₀

𝑑x log(1+x)=2log2-1

∫

¹

 

₀

𝑑x

log(1+x)

2

=

π²

12

.

Многие часто встречающиеся в приложениях интегралы можно вычислить, используя формулу Эйлера

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

(1-x)

^β

=

Γ(1+α)Γ(1+β)

Γ(2+α+β)

.

Например, дифференцированием получаем отсюда следующие результаты:

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

log x=

1

(α+1)²

;

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

(1-x)

^β

log x=[S

₁

(a)-S

₁

(1+α+β)]

Γ(1+α)Γ(1+β)

Γ(2+α+β)

,

∫

¹

 

₀

𝑑x

x^α-1

1-x

=-S

₁

(α),

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

log x log(1-x)=

s₁(1+α)

(1+α)²

+

S₂(1+α)

1+α

-

π²

6

⋅

1

1+α

;

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

log²x

1-x

=2ζ(3)-2s

₃

(α),

∫

¹

 

₀

𝑑x

x^α

1-x

log x log(1-x)=

π²

6

S

₁

(α)-S

₁

(α)S

₂

(α)-S

₃

(α)+ζ(3),

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

(1-x)

^β

log x log(1-x)

=

Γ(1+α)Γ(1+β)

Γ(2+α+β)

⎧

⎨

⎩

S

₂

(1+α+β)-

π²

6

+[S

₁

(α)-S

₁

(α+β+1)]

×

[S

₁

(β)-S

₁

(α+β+1)]

⎫

⎬

⎭

,

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^α

(1-x)

^β

log²x

=

Γ(1+α)Γ(1+β)

Γ(2+α+β)

{[S

₁

(α)-S

₁

(α+β+1)]²+S

₂

(α+β+1)-S

₂

(α)}

и т.д.

Здесь использованы обозначения

S

_l

(α)=ζ(l)-

_∞

∑

^k=1

[1/(k+α)

^l

], l>1; S

_l

(α)=

_α

∑

^j=1

(1/j

^l

),

где α - положительное целое число, а l может принимать любые значения. Заметим, что S₂(∞)=π²/6, S_l(∞)=ζ(l), где ζ — функция Римана. В случае l=1 приведенное выше выражение для функции можно представить в виде ряда

S

₁

(α)=α

_∞

∑

^k=1

[1/(k+α)k]=

_α

∑

^j=1

(1/j),

где α - целое положительное число. Функция S₁(α) представима в виде S₁(α)=ψ(α+1)+γ_E, где ψ(z)=𝑑log(Γ(z))/𝑑z. Сведения о специальных функциях Γ, ψ, ζ см. в книге [5].

Приложение В. Теоретико-групповые соотношения

Для группы SU(3) генераторы t^α определяются по формуле t^α=λ^α/2, где матрицы λ^α имеют вид

λ

^j

=

⎧

⎩

σ

^j

0

0

0

⎫

⎭

, j=1,2,3; λ

⁴

=

⎧

⎪

⎩

0

0

1

0

0

0

1

0

0

⎫

⎪

⎭

; λ

⁵

=

⎧

⎪

⎩

0

0

-i

0

0

0

i

0

0

⎫

⎪

⎭

;

λ

⁶

=

⎧

⎪

⎩

0

0

0

0

0

1

0

1

0

⎫

⎪

⎭

; λ

⁷

=

⎧

⎪

⎩

0

0

0

0

0

-i

0

i

0

⎫

⎪

⎭

; λ

⁸

=

1

√3

⎧

⎪

⎩

1

0

1

0

-2

⎫

⎪

⎭

;

σ

¹

=

⎧

⎩

0

1

1

0

⎫

⎭

, σ

²

=

⎧

⎩

0

-i

i

0

⎫

⎭

, σ

³

=

⎧

⎩

1

0

0

-1

⎫

⎭

.

Можно ввести матрицы C^a, матричными элементами которых являются структурные константы группы C^a_bc=-iƒ_abc=-iƒ^abc. Коммутационные соотношения для матриц C^a и t^a имеют вид

[t

^a

,t

^b

]=i

∑

ƒ

^abc

t

^c

, [C

^a

,C

^b

]=i

∑

ƒ

^abc

C

^c

,

а антикоммутатор генераторов t^a и t^b имеет вид

{t

^a

,t

^b

}=

∑

d

^abc

t

^c

+

1

3

δ

^ab

.

Структурные константы группы ƒ полностью антисимметричны по всем индексам, а структурные константы d_abc≡d^abc полностью симметричны по всем индексам. Ниже приводятся все отличные от нуля значения структурных констант ƒ и d:

1=ƒ

₁₂₃

=2ƒ

₁₄₇

=2ƒ

₂₄₆

=2ƒ

₂₅₇

=2ƒ

₃₄₅

-2ƒ

₁₅₆

=-2ƒ

₁₅₆

=-2ƒ

₃₆₇

=

2

√3

ƒ

₄₅₈

=

2

√3

ƒ

₆₇₈

;

1

√3

=d

₁₁₈

=d

₂₂₈

=d

₃₃₈

=-d

₈₈₈

,

-1

2√3

=d

₄₄₈

=d

₅₅₈

=d

₆₆₈

=d

₇₇₈

,

1

2

=d

₁₄₆

=d

₁₅₇

=d

₂₄₇

=d

₂₅₆

=d

₃₄₄

=d

₃₅₅

=-d

₃₆₆

=-d

₃₇₇

.

Для произвольной группы SU(N) инварианты C_A, C_F и T_F определяются формулами

δ

_ab

C

_A

=

Tr C

^a

C

^b

=

 

∑

^cc'

ƒ

^acc'

ƒ

^bcc'

,

δ

_ik

C

_F

=

⎧

⎪

⎩

 

∑

^a

t

^a

t

^a

⎫

⎪

⎭_ik

=

 

∑

^a,l

t

_a

^il

t

_a

^lk

,

δ

_ab

T

_F

=

Tr t

^a

t

^b

=

 

∑

^k,i

t

_a

^ik

t

_b

^ki

.

При этом

C

_A

=N, C

_F

=

N²-1

2N

, T

_F

=

1

2

.

В приложениях часто встречаются соотношение

Tr t

^a

t

^b

t

^c

=

i

4

ƒ

^abc

+

i

4

d

^abc

,

а также инварианты

 

∑

^abc

d

₂

^abc

=

40

3

,

 

∑

^abc

ƒ

₂

^abc

=24 ,

 

∑

^rka

ε

_irk

t

_a

^jr

t

_a

^kl

=-

2

3

ε

_ijl

.

Приложение Г. Фейнмановские правила диаграммной техники для КХД

Имеются следующие фейнмановские правила:

igγ

_μ

t

_a

^kj

-gƒ

^abc

[(p-q)

_ν

g

_λμ

+(q-k)

_λ

+(k-p)

_μ

g

_νλ

]

-igƒ²

 

∑

^e

{ƒ

^abe

ƒ

^cde

(g

_λν

g

_νσ

-g

_λσ

g

_μν

)

+

ƒ

^ace

ƒ

^bde

(g

_λμ

g

_νσ

-g

_λσ

g

_μν

)

+

ƒ

^ade

ƒ

^cbe

(g

_λν

g

_μσ

-g

_λμ

g

_σν

)}

-gƒ

^acb

p

_μ

i

p-m_j+i0

δ

_jk

i

-g^μν+ξk^μk^ν/(k²+i0)

k²+i0

δ

_ab

(лоренцева калибровка)

i

-g^μν+(n^μk^ν+n^νk^μ)/n⋅k-n²(k^μk^ν/n⋅k)

k²+i0

δ

_ab

(аксиальная калибровка)

i

k²+i0

δ

_ab

.

При вычислении диаграмм следует добавлять общий множитель (2π)⁴δ(P_i-P_ƒ), описывающий сохранение полного 4-импульса, и коэффициент (— 1) на каждую замкнутую фермионную петлю или петлю ду́хов. Статистические множители таковы:

1

2!

 для

1

3!

 для

Каждое интегрирование по петле содержит комбинацию

ν

_4-D

⁰

∫

𝑑

^D

k/(2π)

^D

≡

∫

𝑑

^d

k̂ .

Диаграммы с несвязанными графиками не рассматриваются. Читать диаграммы следует против направлений стрелок на ориентированных линиях. Для получения матричных элементов S-матрицы нужно добавить линии, отвечающие начальным и конечным частицам:

(2π)

^-3/2

u(p,σ)

(2π)

^-3/2

v

(p,σ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

^*

(2π)

^-3/2

u

(p,σ)

(2π)

^-3/2

v(p,σ)

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

^*

(2π)

^-3/2

ε

^μ

(k,λ)

Спиноры и векторы поляризации предполагаются нормированными следующим образом:

 

∑

^σ

u(p,σ)

u

=

p

+m ,

 

∑

^λ

ε

^μ

(k,λ)

^*

ε

ν

(k,λ)=-g

^μν

(фейнмановская калибровка).

Эта сводка правил диаграммной техники отличается от правил, приведенных в книге [40], нормировкой спиноров

 

∑

^σ

u

_BD

u

_BD

=

p+m

2m

,

а также множителями (2π)^-3/2 вследствие разного определения амплитуд 𝓣 и 𝓣_BD

Приложение Д. Фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов

Введем обозначения: γ₊=1, γ_-=γ₅ и Δ — произвольный 4-вектор, удовлетворяющий условию Δ=0. Тогда фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов имеют вид

N=q(0)γ^μ₁…∂^μ_nγ_±q(0)

Δ(Δ⋅k)^k-1γ_±

N=G^μμ₁∂^μ₂…∂^μG

g_μν(Δ⋅k)ⁿk²Δ_μΔ_ν(Δ⋅k)^n-2

-(k_μΔ_ν+Δ_μk_ν)(Δ⋅k)^n-1

N=g

q

_j

(0)γ