Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Мы не будем углубляться в изучение струй, а отсылаем читателя к работе [881, содержащей всесторонее рассмотрение двух- и главным образом трехструйных событий (как в распадах Y-мезонов; рис. 23, г), к работе [200], посвященной струям в процессах глубоконеупругого рассеяния, или к обзору [109]. Добавим только, что двух- и трехструйные события наблюдались в экспериментах; при этом трехструйные события дают прямое доказательство существования глюонов и кварк-глюонного взаимодействия. Полученные для этих процессов [10] значения константы взаимодействия α_s(Q²≈(35 ГэВ)²)≈0,125±0,01 и параметра обрезания Λ=110⁺⁷⁰_-50МэВ находятся во впечатляющем согласии с полученными ранее значениями.

3. Эксклюзивные процессы

Рассмотрим в несколько упрощенном виде вопрос о пионном формфакторе; мы надеемся, что этого окажется достаточно, чтобы распространить данный подход на изучение других процессов, для которых будут приведены лишь окончательные результаты.

Пионный формфактор F_π определим следующим соотношением:

V

^μ

(p

₁

,p

₂

)

=

(2π)³⟨π(p

₂

)|J

_μ

^em

(0)|π(p

₁

)⟩

=

(p

_μ

¹

+p

_μ

²

F

_π

(q²) , q=p

₂

-p

₁

,

(27.8)

где функция F_π нормирована на единицу: F_π(0)=1. Опуская индекс em для тока J^μ , перепишем это соотношение в виде

V

^μ

(p

₁

,p

₂

)=(π)³

⟨π(p

₂

|TJ

_μ

⁰

(0)e

^{i∫d4xℒ0_int(x)}

|π(p

₁

)⟩.

Во втором порядке теории возмущений отсюда следует соотношение как обычно,

q

₀

^u

≡q

₀

, B

₀

^u

≡B

₀

, … - свободные поля)

V

^μ

(p

₁

,p

₂

)

=

-(2π)³

g²

2!

 

∑

^ƒ=u,d

Q

_ƒ

∫

𝑑

⁴

x 𝑑

⁴

y

×

⟨π(p

₂

)|T

q

_ƒ0

(0)γ

^μ

q

_ƒ0

(0)

×

 

∑

^a,b

{

u

₀

(x)γ

^ρ

t

^a

u

₀

(x)

d

₀

(y)γ

^σ

t

^b

d

₀

(x)

+(x↔y)}

×

B

_a

^0ρ

B

_b

^0σ

(y)|π(p

₁

)⟩.

(27.9)

Рис. 24. Диаграммы, описывающие эксклюзивные процессы (а — г — пионный формфактор).

Различные комбинации порождают диаграммы рис. 24, а и б. Члены, соответствующие диаграммам рис. 24, а, опущены, так как они не дают вклада в конечный результат. Используя для обозначения цветовых индексов символы i, j, k, а в качестве дираковских индексов символы α, β и δ и опуская индекс 0, обозначающий свободные поля, вклад диаграммы рис. 24, б можно записать в виде

V

^μ

(p

₁

,p

₂

)

=

-(2π)³g

²

∑∫

𝑑

⁴

x 𝑑

⁴

y

×

⟨π(p

₂

)|

u

_i

^α

(0)

d

_k'

^δ'

(y)γ

_μ

^αα'

S

_α'β

(-x)t

_a

^ii'

t

_b

^kk'

×

γ

_ρ

^ββ'

γ

_σ

^δδ'

D

_ρσ

(x-y)δ

_ab

u

_i'

^β'

(x)

d

_k

^δ

(y)|π(p

₁

)⟩

+

"кросс"-член,

где "кросс" обозначает свертку с другой комбинацией индексов. Можно произвести пространственно-временной сдвиг на величину y. Тогда получаем z=x-y

V

^μ

(p

₁

,p

₂

)

=

(2π)³g²

∑∫

𝑑⁴z

(2π)⁴

∫

𝑑⁴y

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

k

∫

𝑑

⁴

p

×

e

^iz⋅(p-k)

e

^{iy⋅(p+p₂-p₁)}

×

⟨π(p

₂

)|

u

_i

^α

(-y)d

_k'

^δ

(0)

 

∑

^F

|F⟩

⟨F|u

_i

^β'

(z)

d

_k

^δ

(0)|π(p

₂

)⟩γ

_μ

^αα'

×

-p_α'β

p²k²

γ

_ρ

^ββ'

γ

_σ

^δδ'

g

_ρσ

t

_c

^ii'

t

_c

^kk'

+(p

₁

↔p

₂

),

где (p₁↔p₂) возникает из "кросс"-члена. Вклад калибровочных членов явно не выписан, так как в ведущем порядке теории возмущений он обращается в нуль. При получении последнего выражения введен полный набор состояний; в ведущем порядке вносят вклад только вакуумные состояния:

 

∑

^F

|F⟩⟨F|≃|0⟩⟨|+O(α

_s

).

Глюонный пропагатор D_ρσ использован в калибровке Ферми — Фейнмана, но результат (после добавления члена p₁↔p₂), конечно, является калибровочно-инвариантным. Далее в случае трех цветов (число цветов n_c=3)

u

_i

^β'

(z)

d

_k

^δ

(0)

=

δ_ik

4n_c

(γ

^λ

γ

₅

)

_β'δ

d

(0)γ

_λ

γ

₅

u

_z

-

δ_ik

4n_c

(γ

₅

)

_β'δ

d

(0)γ

₅

u(z)+…;

(27.10)

другие члены не дают вклада, так как пион представляет собой синглетное по цвету псевдоскалярное состояние. В самом деле, оператор dγ₅u является оператором твиста 3 и, следовательно, в ведущем порядке теории возмущений может быть опущен. Таким образом, получаем

V

^μ

(p

₁

,p

₁

)

=

(2π)³

C_Fg²

48

∫

𝑑⁴z

(2π)⁴

∫

𝑑⁴y

(2π)⁴

∫

𝑑

⁴

k

∫

𝑑

⁴

e

×

e

^iz⋅(p-k)

e

^{-iy⋅(p+p₂-p₁)}

×

Tr γ^μpγ^ργ^λγ₅γ_ργ^τγ₅

p²k²

⟨0|

d

(0)γ

_λ

γ

₅

u(z)|π(p

₁

)⟩

×

⟨π(p

₂

)|

u

(y)γ

_τ

γ

₅

d(0)|0⟩+(p

₁

↔p

₂

).

(27.11)

Сосредоточим внимание на вычислении членов ⟨0|…|π⟩. Их можно разложить в ряд по степеням переменных z и y: например,

⟨0|

d

(0)γ

_λ

γ

₅

u(z)|π(p

₁

)⟩

=

 

∑

ⁿ

z^μ₁…z^μ_n

n!

𝚂⟨0|

d

(0)γ

_λ

γ

₅

D

_μ1

…D

_μn

u(0)|π(p

₁

)⟩;

(27.12 а)

если пренебречь членами, пропорциональными массе пиона, то получаем

(2π)

^2/3

⟨0

d

(0)γ

_λ

γ

₅

D

_μ1

…D

_μn

u(0)|π(p

₁

)⟩

≡

i

ⁿ⁺¹

p

_1λ

p

_1μ1

…p

_1μn

Α

_n

.

(27.12 б)

Все выкладки были выполнены формально. После перенормировки надо заменить константу связи g на бегущую константу g(ν²) и учесть, что множитель Α_n приобретает зависимость от ν : Α_n=Α_n(ν²). Чтобы избежать появления логарифмических членов log(Q²/ν²), выберем параметр ν²=Q²=-(p₂-p₂)². Если теперь "партонную волновую функцию" Ψ определить в виде

∫

¹

 

₀

𝑑ξξ

ⁿ

Ψ=Α

_n

,

(27.12 в)

то выражение (27.11) можно представить в физически очень наглядном виде

(2π)

^2/3

⟨0|

d

(0)γ

_λ

γ

₅

u(z)|π(p

₁

)⟩

=

ip

_1λ

∫

¹

 

₀

𝑑ξ Ψ(ξ,ν²)e

^iξp₁⋅z

(27.13)

и, проведя в (27.11) интегрирование по переменным z,y;k,p , получить следующий результат:

V

^μ

(p

₁

,p

₂

)

=

C_Fg²(ν)

48

∫

¹

 

₀

𝑑ξΨ(ξ,ν²)

∫

¹

 

₀

𝑑ηΨ

^*

(η,ν²)

×

Tr γ^μpγ^ρp₁γ₅γ_ρp₂γ₅

p²k²

+

(p

₁

↔p

₂

) ,

(27.14 а)

где

p=p

₁

-(1-η)p

₂

,

k=(1-η)p

₂

-(1-ξ)p

₂

.

(27.14 б)