Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

ⁿ

…q

^μ_n

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

+ члены со свертками .

(18.17)

Используя ее для замены переменной iz^μj на производную ∂/∂q^μj в выражениях (18.16), запишем их в виде

Τ

_em

¹

(x,Q²)

_Bj

=

 

i

q²

ν

⋅

(2π)³

π²

∑

2ⁿa_n

n-1

q

_μ1

…q

_μn

p

^μ₁

…p

^μ_n

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

×

∫

d

⁴

z

e^iq⋅z

(z²-i0)²

_Bj

=

 

-(2π)³

q²

ν

∑

(2ν)

ⁿ

a_n

n-1

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

⋅log q²

=

2(2π)³

∑

(n-2)!a_n

x^n-1

=

t(x)/x ,

(18.18 а)

Τ

_em

²

(x,Q²)

_Bj

=

 

iν

(2π)³

π²

∑

a

_n+2

(2ν)

ⁿ

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

∫

d

⁴

z

e^iq⋅z

z²-i0

_Bj

=

 

-4ν(2π)³

∑

(2ν)

ⁿ

a

_n+2

⎛

⎜

⎝

∂

∂q²

⎞ⁿ

⎟

⎠

1

q²

=

2(2π)³

∑

n!a_n+2

xⁿ⁺¹

=

Τ

_em

¹

(x,Q²)

(18.18 б)

При получении этих выражений использованы фурье-преобразования, приведенные в приложении Е, и введено обозначение

t(x)≡2(2π)³

 

∑

ⁿ

n!a

_n+2

1

xⁿ

⋅

(18.18 в)

Взяв мнимые части этих выражений, мы приходим к бьеркеновскому скейлингу и равенству структурных функций ƒ₁(x)=ƒ₂(x). Последнее соотношение, которое приводит к обращению в нуль продольной структурной функции, известно как соотношение Каллана — Гросса [62] (см. также [41]). Другой вывод, из которого ясно, что величина ƒ₂(x)/x имеет смысл вероятности обнаружить кварк с долей x полного импульса p в системе отсчета бесконечного импульса, содержится в работе [157].

§19. Применение операторного разложения к процессам глубоконеупругого рассеяния; моменты

В §18 не конкретизировалась теория поля, в рамках которой применялось операторное разложение. Предполагалось только, что это теория свободных полей. Перейдем теперь к реальной физической ситуации и учтем взаимодействие между полями.

Рассмотрим снова хронологическое произведение токов

TJ

_μ

^p

(x)

⁺

J

_ν

^p

(y) ,

(19.1)

где индекс p обозначает любой ток или комбинацию токов из тех, которые содержатся в (18.7). Но теперь мы хотим учесть взаимодействие между полями, из которых построены эти токи. По-прежнему будем пренебрегать членами, подавляемыми степенями отношения M²/Q², где M — некоторая масса. Операторное разложение можно провести по базису, содержащему операторы, дающие ведущий по степеням M²/Q² вклад в случае свободных полей. При этом в рамках КХД возникают лишь дополнительные логарифмические поправки. Если классифицировать операторы по твисту τ, определяемому соотношением τ=ρ-i, где ρ — размерность оператора, построенного из свободных полей, a j — спин оператора, то, исходя из размерного анализа, легко видеть, что ведущий вклад возникает от операторов с τ=2. Вклады операторов с τ=2n+2 подавляются в отношении (M²/Q²)ⁿ по сравнению с вкладами операторов с τ=2.

Единственными операторами с τ=2, которые можно связать с (19.1), являются операторы^29в)

^29в) Индексы F(V) обозначают синглетные операторы, построенные из полей фермионов (векторных бозонов).

N

_μ1…μn

^NS,a±

=

1

2

i^n-1

(n-2)!

Ƨ:

q

(0)λ

^a

γ

^μ₁

(1±γ

₅

)D

^μ₁

…D

^μ_n

q(0):,

a

=

1,…,8;

N

_μ1…μn

^F±

=

1

2

i^n-1

(n-2)!

Ƨ:

q

(0)λ

⁰

γ

^μ₂

(1±γ

₅

)D

^μ₂

…D

^μ_n

q(0): ;

N

_μ1…μn

^V

=

i^n-2

(n-2)!

ƧTr:G

^μ₁a

(0)D

^μ₂

…D

^μ_n-1

G

_μn

^a

(0): ,

19.2

где Ƨ обозначает симметризацию, т.е. Ƨa_i1…in=(1/n!)∑_{по перестановкам π}a_{π(i1,…,in)} взятие следа производится по цветовым индексам, а ковариантная производная D определяется по формуле

D

_μ

G

_a

^αβ

≡

 

∑

^c

⎧

⎨

⎩

∂

_μ

δ

^ac

+g

∑

ƒ

^abc

B

_b

^μ

⎫

⎬

⎭

G

_c

^αβ

.

С первыми двумя типами операторов (19.2) мы уже встречались (см. (18.14)). При этом оператор N^е определялся в виде суммы N^е=N⁺+N^-. Очевидно, что ненулевые проекции кварковых токов на чисто глюонные операторы можно прочить только в том случае, если учесть взаимодействие между глюонами и кварками. Именно поэтому теперь возник оператор N_V в (19.2).

Если мы работаем в калибровке, требующей введения ду́хов, то кроме операторов (19.2) необходимо учитывать также операторы, составленные из полей ду́хов. Но можно доказать, что благодаря треугольному виду матрицы смешивания (см.г например, [97, 183]) при рассмотрении операторов с τ=2 ду́хами можно полностью пренебречь. К этому вопросу мы вернемся несколько ниже. Запишем операторное разложение выражения (19.1) в виде

TJ

_μ

^p

(z)+J

_ν

^p

=-

 

∑

^j,n

C

_n

^1pj

(z²)g

^μν

i

^n-1

z

_μ1

…z

_μn

N

_μ1…μn

^j

(0)

-

 

∑

^j,n

C

_n

^2pj

(z²)i

^n-1

z

_μ1

…z

_μn

N

_{μνμ1…μn}

^j

(0)

+

 

∑

^j,n

C

_n

^2pj

(z²)ε

^μναβ

i

^n-2

z

_β

z

_μ1

…z

_μn

N

_αμ1…μn

^j

(0),

(19.3)

где индекс i относится к тем операторам из (19.2), которые имеют квантовые числа, совпадающие с квантовыми числами исходного произведения J⁺_pJ_p. Здесь следует отметить, что взаимодействия КХД не нарушают симметрии по ароматам кварков и, следовательно, все вычисления с матрицами λ действующими в пространстве ароматов, можно проводить так же, как в случае свободных полей. Например, для хронологического произведения двух электромагнитных токов выражение (19.3) принимает вид

iTJ

_μ

^em

(z)J

_ν

^em

(0) =

=

g

^μν

⎧

⎨

⎩

 

∑

n четн

C

_n

^1NS

(z²)

⎛

⎜

⎝

1

6

N

_μ1…μn

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_μ1…μn

^NS,8

(0)

⎞

⎟

⎠

+

2

9

C

_n

^1F

(z²)N

_μ1…μn

^F

(0)

⎫

⎬

⎭

i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

+

 

∑

n четн

⎧

⎨

⎩

C

_n

^2NS

(z²)

⎛

⎜

⎝

1

6

N

_{μνμ1…μn}

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_{μνμ1…μn}

^NS,8

(0)

⎞

⎟

⎠

+

2

9

C

_n

^2F

(z²)N

_{μνμ1…μn}

^F

(0)

⎫

⎬

⎭

i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

+

⎧

⎨

⎩

g