Курс теоретической астрофизики

В действительности отношение ε_ν'/ε_ν зависит не только от плотности, но и от температуры. Оно зависит также от механизма возбуждения атомов, которым определяется значение коэффициента 𝑏_𝑘. Поэтому для разных линий ход изменения величины ε_ν'/ε_ν с расстоянием 𝑟 будет различным. Для каждой линии соответствующие расчёты можно выполнить при помощи формул (17.4) — (17.6). Ниже это будет сделано для бальмеровских линий водорода.

3. Электронная концентрация.

Поскольку основным механизмом свечения короны является рассеяние света свободными электронами, то по измеренной поверхностной яркости короны можно найти распределение свободных электронов в ней. Эта задача решается в принципе так же, как и рассмотренная выше задача о нахождении распределения излучающих атомов по высоте в хромосфере.

Будем считать, что корона обладает сферической симметрией (хотя в действительности это не совсем так). Пусть ε(𝑟') — объёмный коэффициент излучения на расстоянии 𝑟' от центра Солнца и 𝐼(𝑟) — интенсивность излучения, идущего от короны к наблюдателю на расстоянии 𝑟 от центра диска. Указанные величины связаны между собой уравнением

𝐼(𝑟)

=

+∞

∫

-∞

ε(𝑟')

𝑑𝑠

.

(17.8)

где 𝑠=√𝑟'²-𝑟². Это уравнение можно переписать также в виде

𝐼(𝑟)

=

2

∞

∫

𝑟

ε(𝑟')𝑟' 𝑑𝑟'

√𝑟'²-𝑟²

.

(17.9)

Так как величина 𝐼(𝑟) известна из наблюдений, то, решая уравнение (17.9) (уравнение Абеля), мы можем найти коэффициент излучения ε(𝑟). На практике обычно пользуются тем, что если

ε(𝑟)

=

𝐶

𝑟^𝑚

,

(17.10)

где 𝐶 и 𝑚 — постоянные, то, как следует из (17.9),

𝐼(𝑟)

=

2𝐶

𝑟^𝑚-1

cos

^𝑚-2

φ

𝑑φ

.

(17.11)

На этом основании, принимая, что ε(𝑟) является суммой членов вида (17.10), подбираются постоянные 𝐶 и 𝑚 так, чтобы сумма членов вида (17.11) достаточно хорошо представляла заданную функцию 𝐼(𝑟).

Если коэффициент излучения ε(𝑟) найден, то, пользуясь формулой (17.4), мы можем определить электронную концентрацию 𝑛_𝑒(𝑟). Считая, что интенсивность фотосферного излучения 𝐼₀ не зависит от направления, получаем

𝑛

_𝑒

(𝑟)

=

2ε(𝑟)

,

σ₀𝐼₀

⎡

⎢

⎣

1-

⎧

⎪

⎩

1-

⎛

⎜

⎝

𝑅

⎞

⎟

⎠

²

⎫

⎪

⎭

½

⎤

⎥

⎦

𝑟

(17.12)

где 𝑅 — радиус Солнца.

При более строгом решении задачи об определении электронной концентрации в короне необходимо учесть потемнение солнечного диска при переходе от центра к краю. Кроме того, следует принять во внимание, что свободные электроны рассеивают излучение не изотропно, а с индикатрисой рассеяния 𝑥(γ)=³/₄(1+cos²γ).

После нахождения электронной концентрации 𝑛_𝑒(𝑟) можно вычислить степень поляризации излучения короны 𝑝(𝑟) (о чем уже говорилось выше). Совпадение вычисленных и наблюдённых значений 𝑝(𝑟) служит контролем правильности определения 𝑛_𝑒(𝑟).

В качестве примера приведём следующую приближённую формулу для величины 𝑛_𝑒(𝑟), полученную указанным выше способом:

𝑛

_𝑒

(𝑟)

=

10⁸

⎡

⎢

⎣

0,036

⎛

⎜

⎝

𝑅

𝑟

⎞1⋅5

⎟

⎠

+1,55

⎛

⎜

⎝

𝑅

𝑟

⎞6

⎟

⎠

+

+2,99

⎛

⎜

⎝

𝑅

𝑟

⎞16

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(17.13)

Подробное изучение структуры короны было выполнено ван де Хюлстом (см. [2]). В его работе принята во внимание анизотропия электронного рассеяния, исключена F-компонента, учтена поляризация излучения короны. Полученные результаты приведены в табл. 20, содержащей значения электронной концентрации как для короны в эпоху максимума солнечной активности, так и для короны в эпоху минимума. При этом «максимальная» корона считается сферически-симметричной, а для «минимальной» короны даны значения 𝑛_𝑒 отдельно для экваториальной и полярной областей.

Таблица 20

Электронная концентрация в короне 𝑛_𝑒(𝑟)⁻⁶

𝑟/𝑅

«Максимальная»

корона

«Минимальная» корона

экваториальная

полярная

1,00

403

227

174

1,03

316

178

127

1,06

235

132

87

,2

1,1

160

90

,0

52

,2

1,2

70

,8

39

,8

16

,3

1,3

37

,6

21

,1

5

,98

1,5

14

,8

8

,3

1

,41

1,7

7

,11

4

,0

0

,542

2,0

2

,81

1

,58

0

,196

2,6

0

,665

0

,374

0

,040

3,0

0

,313

0

,176

0

,017

4,0

0

,090

0

,050

0

,004

Мы можем определить также полное число свободных электронов в короне, для чего достаточно знать её светимость. Если ε — коэффициент излучения, то светимость короны равна

𝐿

_𝑘

=

4π

∫

ε

𝑑𝑉

,

(17.14)

где интегрирование производится по всему объёму короны. Так как светимость короны определяется в основном излучением её внутренних частей (для которых 𝑟≈𝑅), то на основании формулы (17.12) можно приближённо написать

ε(𝑟)

=

1

2

𝑛

_𝑒

(𝑟)

σ₀

𝐼₀

.

(17.15)

Подстановка (17.15) в (17.14) даёт

𝐿

_𝑘

=

2π

σ₀

𝐼₀

𝑁

_𝑒

,

(17.16)

где

𝑁

_𝑒

=

∫

𝑛

_𝑒

𝑑𝑉

.

С другой стороны, светимость Солнца равна

𝐿

_☉

=

4π

𝑅²π

𝐼₀

.

(17.17)

Поэтому для отношения светимости короны к светимости Солнца получаем

𝐿_𝑘

𝐿_☉

=

σ₀𝑁_𝑒

2π𝑅²

.

(17.18)

Формула (17.18) даёт возможность определить полное число свободных электронов в короне 𝑁_𝑒, если известна из наблюдений величина 𝐿_𝑘/𝐿_☉ Как уже упоминалось, 𝐿_𝑘/𝐿_☉≈10⁻⁶. Поэтому находим: 𝑁_𝑒≈5‚10⁴⁰.

Отсюда, между прочим, следует, что число свободных электронов короны, приходящихся на один квадратный сантиметр поверхности Солнца, равно

𝑁_𝑒

2π𝑅²

≈

10¹⁸

.

(17.19)

Умножая это число на коэффициент рассеяния, рассчитанный на один свободный электрон, получаем приближённое значение для оптической толщины короны, которое оказывается равным τ₀≈10⁻⁶. Такого результата и следовало ожидать, так как должно выполняться приближённое равенство: 𝐿_𝑘≈τ₀𝐿_☉.