Курс теоретической астрофизики

где 𝑎 — некоторое малое расстояние. Можно считать, что величина 𝑛(𝑎) принимает либо значение 𝑛(𝑎)=0, либо 𝑛(𝑎)=1. Обозначим через ν среднее число облаков на единице пути. Тогда вероятность первого из указанных значений 𝑛(𝑎) будет 1-ν𝑎 а вероятность второго ν𝑎. Вероятностями других значений при малых 𝑎 можно пренебречь. Очевидно, что в первом из рассмотренных случаев интеграл

𝑎

∫

0

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

равен

𝑎

,

а во втором случае он равен 𝑎θ где 0<θ<1. Поэтому вместо соотношения (32.10) получаем

𝑓(𝐼)

=

(1-ν𝑎)

𝑃

⎛

⎜

⎝

ε

∞

∫

𝑎

𝑞

^{𝑛(𝑠)-𝑛(𝑎)}

𝑑𝑠

<

𝐼

-

𝑎ε

⎞

⎟

⎠

+

+

ν𝑎𝑃

⎛

⎜

⎝

ε

∞

∫

𝑎

𝑞

^{𝑛(𝑠)-𝑛(𝑎)}

𝑑𝑠

<

𝐼-𝑎θε

𝑞

⎞

⎟

⎠

.

(32.11)

Так как при перемене места наблюдения вероятность измерить ту или иную яркость не должна меняться, то мы имеем

𝑃

⎛

⎜

⎝

ε

∞

∫

𝑎

𝑞

^{𝑛(𝑠)-𝑛(𝑎)}

𝑑𝑠

<

𝐼

⎞

⎟

⎠

=

𝑃

⎛

⎜

⎝

ε

∞

∫

0

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

<

𝐼

⎞

⎟

⎠

.

(32.12)

Вследствие этого уравнение (32.11) принимает вид

𝑓(𝐼)

=

(1-ν𝑎)

𝑓(𝐼-𝑎ε)

+

ν𝑎𝑓

⎛

⎜

⎝

𝐼-𝑎θε

𝑞

⎞

⎟

⎠

.

(32.13)

Пользуясь малостью 𝑎 вместо (32.13), находим

𝑓(𝐼)

=

(1-ν𝑎)

⎡

⎣

𝑓(𝐼)

-

𝑎ε𝑓 '(𝐼)

⎤

⎦

+

ν𝑎𝑓

⎛

⎜

⎝

𝐼

𝑞

⎞

⎟

⎠

,

(32.14)

или

𝑓(𝐼)

+

ε

ν

𝑓 '(𝐼)

=

𝑓

⎛

⎜

⎝

𝐼

𝑞

⎞

⎟

⎠

.

(32.15)

Введём вместо 𝐼 безразмерную яркость 𝑢, равную

𝑢

=

𝐼

ν

ε

.

(32.16)

Тогда для определения функции 𝑓(𝑢) будем иметь уравнение

𝑓(𝑢)

+

𝑓 '(𝑢)

=

𝑓

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑞

⎞

⎟

⎠

.

(32.17)

Обозначим через 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 вероятность того, что безразмерная яркость 𝑢 заключена в интервале от 𝑢 до 𝑢+𝑑𝑢. Так как 𝑔(𝑢)=𝑓 '(𝑢), то из уравнения (32.17) получаем

𝑔(𝑢)

+

𝑔'(𝑢)

=

1

𝑞

𝑔

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑞

⎞

⎟

⎠

.

(32.18)

Уравнение (32.18) является искомым. Из него можно легко получить выражение для функции 𝑔(𝑢) в виде некоторого ряда. Уравнение (32.18) даёт также возможность определить моменты функции 𝑔(𝑢), т.е. величины

𝑢

^𝑘

=

∞

∫

0

𝑢

^𝑘

𝑔(𝑢)

𝑑𝑢

(32.19)

без предварительного нахождения функции 𝑔(𝑢).

Найдём, например, величины 𝑢 и 𝑢², представляющие интерес для некоторых применений теории. Умножая уравнение (32.18) на 𝑢, интегрируя по 𝑢 в пределах от 0 до ∞ и используя условие нормировки функции 𝑔(𝑢), получаем

𝑢

=

1

1-𝑞

.

(32.20)

После умножения уравнения (32.18) на 𝑢² и интегрирования, аналогично находим

𝑢²

=

2

(1-𝑞)(1-𝑞²)

.

(32.21)

При помощи (32.20) и (32.21) получаем следующее выражение для относительного среднего квадратичного отклонения:

(𝑢-𝑢)²

𝑢²

=

𝑢²

𝑢²

-

1

=

1-𝑑

1+𝑑

.

(32.22)

Приведённые теоретические результаты можно сравнить с наблюдательными данными. В качестве последних берутся фотометрические карты Млечного Пути. На основании этих карт находится средняя яркость 𝐼 и относительное среднее квадратичное отклонение

(𝐼-𝐼)²

𝐼²

.

При помощи формул (32.16) и (32.20) получаем

𝐼

=

ε

ν

𝑢

=

ε

ν

1

1-𝑞

.

(32.23)

Пользуясь также формулой (32.22), находим

(𝐼-𝐼)²

𝐼²

=

1-𝑞

1+𝑞

.

(32.24)

Так как левые части полученных соотношений известны из наблюдений, то эти соотношения дают возможность определить величины 𝑞 и ε/ν.

Указанным способом для средней прозрачности облака было получено значение 𝑞=0,8. Следовательно, при прохождении света звезды через облако происходит ослабление её яркости на 0,25 звёздной величины. При помощи формулы (32.23) было также найдено значение величины ε/ν. При известной из звёздных подсчётов величине ε это позволило определить величину ν. Оказалось, что в среднем на пути в 1 килопарсек находятся четыре туманности. Таким образом, пылевые туманности в Галактике производят поглощение, равное приблизительно одной звёздной величине на килопарсек. Этот результат находится в согласии с величиной поглощения, полученной из наблюдательных данных об ослаблении света далёких объектов в галактической плоскости.

Наличие пылевой материи в Галактике вызывает поглощение света не только звёзд, но и внегалактических туманностей (т.е. других галактик). Как известно, число внегалактических туманностей 𝑁 до определённой звёздной величины убывает с уменьшением галактической широты 𝑏. При этом область неба близ галактического экватора является «зоной избегания» для внегалактических туманностей. Объясняется это тем, что с уменьшением 𝑏 растёт оптический путь луча в слое поглощающей материи. По изменению величины 𝑁 в зависимости от 𝑏 можно определить оптическую толщину этого слоя (она оказывается порядка 0,5). Можно также рассмотреть изменение величины 𝑁 в зависимости от галактической долготы 𝑙 при постоянном 𝑏 При изменении 𝑙 величина 𝑁 обнаруживает значительные флуктуации, вызываемые случайным распределением пылевых облаков в Галактике. В. А. Амбарцумян создал теорию флуктуаций чисел внегалактических туманностей и на её основе определил среднюю оптическую толщину одного облака.

3. Свечение пылевых туманностей.

Пылевые туманности светятся благодаря отражению ими излучения звёзд (вследствие чего они иногда называются отражательными туманностями). По свечению туманностей можно судить о природе пылевых частиц. Очевидно, что для этого надо связать наблюдаемые яркости туманностей с величинами, характеризующими процессы рассеяния света в элементарном объёме.