Курс теоретической астрофизики

Пусть φ(𝑀) — функция светимости для звёзд данного спектрального класса, т.е. φ(𝑀)𝑑𝑀 — вероятность того, что абсолютная величина звезды заключена в интервале от 𝑀 до 𝑀+𝑑𝑀. Тогда среднее значение объёма 𝑉 для звёзд этого класса будет равно

𝑉

=

𝑉₀

+∞

∫

-∞

φ(𝑀)

⋅

10

^-0,6𝑀

𝑑𝑀

.

(32.4)

Если мы обозначим через 𝑛 число звёзд данного спектрального класса в единице объёма, то величина 𝑛𝑉 будет представлять собой искомую долю пространства, освещённого этими звёздами.

Для вычисления интеграла (32.4) В. А. Амбарцумян предложил использовать основное интегральное уравнение звёздной статистики

𝑁(𝑚)

=

Ω

∞

∫

0

𝑛(𝑟)

φ(𝑀)

𝑟²

𝑑𝑟

,

(32.5)

где 𝑁(𝑚) — число звёзд рассматриваемого спектрального класса видимой звёздной величины от 𝑚-½ до 𝑚+½, находящихся в телесном угле Ω. Будем считать, что звёзды распределены в пространстве равномерно, т.е. 𝑛=const. Тогда, принимая во внимание известную формулу

𝑀

=

𝑚

+

5-5

lg 𝑟

,

(32.6)

вместо (32.5) получаем

𝑁(𝑚)

=

Ω𝑛

5 lg 𝑒

+∞

∫

-∞

φ(𝑀)

⋅

10

^{0,6(𝑚-𝑀)+3}

𝑑𝑀

.

(32.7)

Здесь не учитывается поглощение света в Галактике. Сравнивая между собой соотношения (32.4) и (32.7), находим

𝑛

𝑉

=

𝑁(𝑚)𝑉₀

Ω

⋅

10

^-3-0,6𝑚

5 lg 𝑒

.

(32.8)

Формула (32.8) даёт возможность легко определить величину 𝑛𝑉 по наблюдательным данным. Значения этой величины для звёзд разных спектральных классов приведены в табл. 49. В той же таблице даны для сравнения числа туманностей, освещённых звёздами этих классов.

Таблица 49

Сопоставление долей пространства,

освещённого звёздами разных классов,

с числами туманностей,

светящихся под действием излучения таких звёзд

Спектральный

класс

𝑛

𝑉

⋅10⁴

Число

туманностей

O

0,2

11

B0

0,6

7

B1-B9

2,9

54

A

0,8

5

F

0,25

2

G

0,18

1

K

0,25

2

M

0,02

0

Мы видим, что числа в столбцах табл. 49 между собой приблизительно пропорциональны. Отсюда можно сделать вывод, что связь между туманностями и звёздами является случайной.

Строго говоря, данные для звёзд классов O и B0 не следовало бы включать в таблицу, так как эти звёзды связаны с газовыми туманностями, а не с пылевыми. Поэтому объём пространства, освещённый такой звездой, не будет определяться формулой (32.2).

Из таблицы можно вывести ещё одно важное следствие. Если мы сложим все числа 𝑛𝑉, то получим долю пространства, освещённую всеми звёздами. Эта доля равна 5⋅10⁻⁴. Так как светятся только те туманности, которые попадают в освещённые части пространства, то мы приходим к заключению, что число светлых туманностей в Галактике примерно в 2000 раз меньше числа тёмных туманностей.

Таким образом, число тёмных туманностей в Галактике оказывается очень большим. Оценив это число и приняв некоторое среднее значение для оптической толщины туманности, полученное по наблюдениям известных тёмных туманностей, мы можем определить величину среднего поглощения, обусловленного туманностями, на единице пути. Эта величина оказывается примерно равной находимой из наблюдений величине общего поглощения света в Галактике (порядка одной звёздной величины на килопарсек в галактической плоскости). Поэтому мы можем считать, что общее поглощение света в Галактике вызывается в основном наличием в ней большого числа пылевых туманностей. Вследствие случайного распределения туманностей поглощение света в Галактике является очень неравномерным. Если туманность находится близко от нас и её оптическая толщина сравнительно велика, то присутствие такой туманности обнаруживается по заметному уменьшению числа звёзд до определённой величины в данной области неба.

2. Флуктуации яркости Млечного Пути.

Клочковатая структура межзвёздной среды приводит к большим различиям в яркости неба в разных направлениях. Задавая число туманностей (или, как иногда говорят, облаков) на единице пути и их поглощательную способность, мы можем определить вероятности тех или иных яркостей. Сделаем это, следуя работе В. А. Амбарцумяна [1].

Возьмём для простоты плоскость Галактики и предположим, что звёзды распределены в ней равномерно. Коэффициент излучения, обусловленный звёздами, обозначим через ε. Будем считать, что все туманности обладают одинаковой прозрачностью, равной 𝑞. Число туманностей, расположенных в заданном направлении до расстояния 𝑠. от нас, обозначим через 𝑛(𝑠). Тогда интенсивность излучения, приходящего к нам в этом направлении, будет равна

ε

∞

∫

0

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

.

В разных направлениях поведение целочисленной функции 𝑛(𝑠) различно, вследствие чего и возникают флуктуации яркости неба.

Пусть 𝑓(𝐼) — вероятность того, что интенсивность излучения меньше 𝐼, т.е.

𝑓(𝐼)

=

𝑃

⎛

⎜

⎝

ε

∞

∫

0

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

<

𝐼

⎞

⎟

⎠

.

(32.9)

Для определения функции 𝑓(𝐼) применим следующий приём.

Перепишем формулу (32.9) в виде

𝑓(𝐼)

=

𝑃

⎛

⎜

⎝

ε

𝑎

∫

0

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

+

ε𝑞

^𝑛(𝑎)

∞

∫

𝑎

𝑞

^{𝑛(𝑠)-𝑛(𝑎)}

𝑑𝑠

<

𝐼

⎞

⎟

⎠

,

(32.10)