Курс теоретической астрофизики

Очевидно, что истечение вещества из звезды должно приводить к увеличению светимости новой. Это вызывается как высвечиванием выброшенного вещества, так и более медленным остыванием поверхностных слоёв самой звезды. Вместе с тем при столкновении выброшенного вещества с оболочкой часть кинетической энергии переходит в тепловую энергию, а затем в излучение.

Сейчас мы рассмотрим задачу о движении оболочки, которую догоняет выбрасываемое из звезды вещество. При этом определим как изменение скорости движения оболочки, так и количество кинетической энергии, переходящей в излучение (подробнее см. [2]).

Пусть в некоторый фиксированный момент времени 𝑡₀ оболочка имеет массу 𝑀₀ и скорость 𝑣₀. Предположим, что после отрыва оболочки происходит истечение вещества из звезды с постоянной скоростью 𝑢, причём количество вещества, выбрасываемого за 1 с, равно 𝑎𝑢. Мы считаем, что 𝑢>𝑣₀, и поэтому с течением времени масса оболочки 𝑀 и её скорость 𝑣 должны возрастать.

Чтобы найти зависимость 𝑀 и 𝑣 от времени 𝑡, надо написать уравнение движения оболочки. Обозначая через 𝑞 массу вещества, присоединяющегося к оболочке за 1 с, имеем

𝑑(𝑀𝑣)

𝑑𝑡

=

𝑞𝑢

(30.30)

и

𝑞

=

𝑑𝑀

𝑑𝑡

=

𝑎(𝑢-𝑣)

.

(30.31)

Полученные уравнения решаются весьма просто. Подставляя в (30.30) 𝑞=𝑑𝑀/𝑑𝑡 и интегрируя, находим

𝑀(𝑢-𝑣)

=

𝑀₀(𝑢-𝑣₀)

.

(30.32)

Вводя 𝑀 из (30.32) в (30.31), имеем

𝑑

𝑑𝑡

⎛

⎜

⎝

1

𝑢-𝑣

⎞

⎟

⎠

=

𝑎(𝑢-𝑣)

𝑀₀(𝑢-𝑣₀)

.

(30.33)

Интегрирование этого уравнения даёт

𝑣

=

𝑢

-

𝑢-𝑣₀

.

⎛

⎜

⎝

1

+

2𝑎

(𝑢-𝑣₀)

(𝑡-𝑡₀)

⎞

⎟

⎠

½

𝑀₀

(30.34)

Формула (30.34) определяет искомую скорость движения оболочки. Подставляя 𝑣 из (30.34) в (30.32), получаем следующее выражение для массы оболочки в зависимости от 𝑡:

𝑀

=

𝑀₀

⎛

⎜

⎝

1

+

2𝑎

𝑀₀

(𝑢-𝑣₀)

(𝑡-𝑡₀)

⎞½

⎟

⎠

.

(30.35)

Пользуясь формулой (30.35), мы можем определить количество вещества, присоединившегося к оболочке за время 𝑡-𝑡₀, т.е. величину 𝑄=𝑀-𝑀₀. Эта величина при помощи формулы (30.32) может быть также представлена в виде

𝑄

=

𝑀

𝑣-𝑣₀

𝑢-𝑣₀

.

(30.36)

Обратимся теперь к рассмотрению изменений энергии оболочки. Кинетическая энергия вещества, присоединившегося к оболочке за время 𝑡-𝑡₀ равна ½𝑄𝑢². Часть этой энергии идёт на увеличение кинетической энергии оболочки, которая за то же время меняется от значения ½𝑀₀𝑣₀² До значения ½𝑀𝑣². За счёт другой же части происходит возрастание внутренней энергии оболочки, переходящей затем в излучение. Очевидно, что увеличение внутренней энергии оболочки равно

Δ

𝐸

=

1

2

𝑀₀𝑣₀²

+

1

2

𝑄𝑢²

-

1

2

𝑀𝑣²

.

(30.37)

Пользуясь формулами (30.32) и (30.36), получаем

Δ

𝐸

=

1

2

𝑀

(𝑢-𝑣₀)

(𝑣-𝑣₀)

.

(30.38)

Эта формула и определяет искомую энергию, излучаемую оболочкой в результате столкновений с выбрасываемым из звезды веществом.

Для вычисления по приведённым формулам изменений скорости, массы и внутренней энергии оболочки надо иметь данные о скорости истечения вещества из звезды 𝑢 и мощности истечения 𝑎𝑢 Очевидно, что до момента максимума блеска таких данных у нас нет. После этого момента становится наблюдаемым диффузно-искровой спектр и по смещениям линий этого спектра определяется скорость 𝑢. Вместе с тем после максимума блеска наблюдается увеличение смещений абсорбционных линий главного спектра, которое может быть истолковано как возрастание скорости движения оболочки под воздействием вещества, выбрасываемого из звезды. Наблюдения позволяют найти скорость 𝑣₀ в момент 𝑡₀, за который можно принять момент максимума блеска, и скорость 𝑣 в некоторый момент 𝑡. Масса оболочки может быть определена одним из способов, указанных в предыдущем параграфе. Все это даёт возможность вычислить по формулам (30.36) и (30.38) количество вещества, выбрасываемого звездой, и количество кинетической энергии, переходящей в излучение, за некоторое время после максимума блеска. Эти результаты можно экстраполировать и на период до максимума блеска. При этом получается, что энергия Δ𝐸 должна играть существенную роль в свечении новой в указанный период.

4. Движение оболочки в межзвёздной среде.

При расширении оболочки новой её масса возрастает не только за счёт вещества, выбрасываемого из звезды и догоняющего оболочку, но и за счёт межзвёздного вещества, захватываемого оболочкой. Так как плотность межзвёздной среды очень мала, то её влияние на движение оболочки сказывается лишь на поздней стадии развития оболочки. Сейчас мы остановимся на этой стадии, причём уже не будем учитывать поступление вещества из звезды в оболочку.

Допустим, что новая вспыхнула в однородной среде с плотностью ρ. Если в момент вспышки масса оболочки равна 𝑀₀, то на расстоянии 𝑟 от звезды она станет равной

4

3

π𝑟³ρ

+

𝑀₀

.

На основании закона сохранения количества движения имеем

⎛

⎜

⎝

4

3

π𝑟³ρ

+

𝑀₀

⎞

⎟

⎠

𝑣

=

𝑀₀𝑣₀

,

(30.39)

где 𝑣₀ — скорость оболочки в начальный момент и 𝑣 оболочки на расстоянии 𝑟 от звезды.

Подставляя в уравнение (30.39) 𝑑𝑟/𝑑𝑡 вместо 𝑣 и интегрируя, получаем

1

3

π𝑟⁴ρ

+

𝑀₀𝑟

=

𝑀₀𝑣₀𝑡

,

(30.40)

где 𝑡 — время, протекшее от начала вспышки. Соотношение (30.40) определяет радиус оболочки 𝑟 в зависимости от времени 𝑡.