Курс теоретической астрофизики

и равны нулю вне этого интервала. Кроме того, допустим, что область оболочки, в которой поглощается излучение в данной линии, сравнительно невелика (вследствие большого градиента скорости), так что плотность вещества и градиент скорости в этой области можно считать постоянными.

Рассмотрим излучение в линии частоты ν_𝑖𝑘, выходящее из некоторого элементарного объёма в направлении 𝑠 внутри телесного угла 𝑑ω. На пути от 𝑠 до 𝑠+𝑑𝑠 будет поглощена следующая доля излучённых квантов:

𝑒

^{-α_𝑖𝑘𝑠}

⎛

⎜

⎝

1

-

|ν_𝑖𝑘́ - ν_𝑖𝑘|

Δν_𝑖𝑘

⎞

⎟

⎠

α

_𝑖𝑘

𝑑𝑠

,

(28.20)

где множитель 𝑒^{-α_𝑖𝑘𝑠} учитывает поглощение излучения на пути от нуля до 𝑠, а множитель

1

-

|ν_𝑖𝑘́ - ν_𝑖𝑘|

Δν_𝑖𝑘

— изменение частоты

излучения вследствие эффекта Доплера. При этом

ν

_𝑖𝑘

́ - ν

_𝑖𝑘

=

ν_𝑖𝑘

𝑐

∂𝑣_𝑠

∂𝑠

𝑠

.

(28.21)

Доля квантов, поглощённых на всем их пути в оболочке, будет равна

𝑠₁

∫

0

𝑒

^{-α_𝑖𝑘𝑠}

⎡

⎢

⎣

1

-

1

2𝑢

⎪

⎪

⎪

∂𝑣_𝑠

∂𝑠

⎪

⎪

⎪

⋅

𝑠

⎤

⎥

⎦

α

_𝑖𝑘

𝑑𝑠

,

(28.22)

где величина 𝑠₁ определяется из условия

1

2𝑢

⎪

⎪

⎪

∂𝑣_𝑠

∂𝑠

⎪

⎪

⎪

⋅

𝑠₁

=

1

.

(28.23)

Умножая выражение (28.22) на 𝑑ω/4π и интегрируя по всем телесным углам, мы получаем долю квантов, поглощённых в оболочке, из общего числа квантов, излучённых данным объёмом. При принятых обозначениях эта доля равна 1-β_𝑖𝑘 Поэтому для величины β_𝑖𝑘 находим

β

_𝑖𝑘

=

∫

⎡

⎢

⎣

1

-

exp

⎛

⎜

⎝

-

1

β_𝑖𝑘⁰

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

β

_𝑖𝑘

⁰

𝑑ω

4π

,

(28.24)

где обозначено

β

_𝑖𝑘

⁰

=

1

2𝑢α_𝑖𝑘

⎪

⎪

⎪

∂𝑣_𝑠

∂𝑠

⎪

⎪

⎪

.

(28.25)

Если оболочка в данном месте непрозрачна во всех направлениях (т.е. β_𝑖𝑘⁰≪1 то величина β_𝑖𝑘 равна величине β_𝑖𝑘⁰ усреднённой по направлениям. Если же оболочка в данном месте прозрачна во всех направлениях (т.е. β_𝑖𝑘⁰≫1), то, как это и должно быть, β_𝑖𝑘=1.

Таким образом, для нахождения величин 𝑛_𝑖, мы получили систему уравнений (28.18), в которой величины β_𝑖𝑘 определены соотношениями (28.24). Входящие в эти соотношения величины β_𝑖𝑘⁰ как видно из формул (28.5) и (28.10), выражаются через величину β₁₂⁰ и населённости уровней атомов.

Если уравнения (28.18) решены для разных частей оболочки, то мы можем определить полное количество энергии, излучаемое оболочкой в любой спектральной линии. Для этого служит следующая формула:

𝐸

_𝑘𝑖

=

𝐴

_𝑘𝑖

ℎν

_𝑖𝑘

∫

𝑛

_𝑘

β

_𝑖𝑘

𝑑𝑉

,

(28.26)

где интегрирование производится по всему объёму оболочки. Для прозрачной оболочки β_𝑖𝑘 и формула (28.26) переходит в формулу (24.8) предыдущей главы.

Система уравнений (28.18) может быть решена численно. Для этого надо задать значения четырёх параметров: температуры звезды 𝑇_∗ (от которой зависят ρ_𝑖𝑐⃰), электронной температуры 𝑇_𝑒 (от неё зависят 𝐶_𝑖), коэффициента дилюции 𝑊 и величины β₁₂. В табл. 43 в виде примера приведены значения бальмеровского декремента, найденные при 𝑇_∗=20 000 K, 𝑇_𝑒=20 000 K, β₁₂=0,001 и при двух значениях коэффициента дилюции: 𝑊=0,01 (случай I) и 𝑊=0,1 (случай II).

Таблица 43

Теоретический бальмеровский декремент

в спектрах движущихся оболочек звёзд

Линия

Случай

I

Случай

II

Случай

туман-

ностей

𝙷

_α

1,61

0,97

2,97

𝙷

_β

1,00

1,00

1,00

𝙷

_γ

0,44

0,80

0,49

𝙷

_δ

0,24

0,50

0,28

𝙷

_ε

0,15

0,32

0,18

В той же таблице даны для сравнения значения бальмеровского декремента для случая прозрачных оболочек (например, туманностей) при 𝑇_𝑒=20 000 K. Они получены путём решения системы уравнений (28.17), являющейся частным случаем системы уравнений (28.18) при β₁_𝑘, β_𝑖𝑘=1 (𝑖=2, 3, 4, …) и при пренебрежении ионизацией из возбуждённых состояний.

Бальмеровский декремент в случае туманностей зависит только от температуры 𝑇_𝑒 и очень мало меняется при её изменении. В случае же оболочек, движущихся с градиентом скорости, бальмеровский декремент зависит от нескольких параметров и может принимать весьма различные значения.

Наблюдения показывают, что в спектрах звёзд типов WR, P Лебедя, Be и новых бальмеровский декремент заметно меняется при переходе от одной звезды к другой, а в случае звёзд типа Be и новых он меняется также и в спектре одной звезды с течением времени. Это может быть объяснено тем, что в оболочках указанных звёзд меняются значения параметров 𝑊 и β₁₂, от которых бальмеровский декремент существенно зависит.

Для вычисления параметра β₁₂ надо знать поле скоростей в оболочке. Допустим, например, что атомы движутся в радиальном направлении со скоростью 𝑣, зависящей от 𝑟. Легко показать, что в таком случае

∂𝑣_𝑠

∂𝑠

=

𝑑𝑣

𝑑𝑟

cos²θ

+

𝑣

𝑟

sin²θ

,

(28.27)

где θ — угол между направлением радиуса-вектора и направлением луча. Из формулы (28.27) видно, что даже тогда, когда 𝑑𝑣/𝑑𝑟=0, существует градиент скорости в оболочке (обусловленный кривизной слоёв). В указанном случае

∂𝑣_𝑠

∂𝑠

=

2

3

𝑣

𝑟

.

(28.28)

После определения ∂𝑣_𝑠 /∂𝑠 величина β₁₂ находится по формуле

β₁₂

=

1

2𝑢𝑛₁𝑘₁₂

⎪

⎪

⎪

∂𝑣_𝑠

∂𝑠

⎪

⎪

⎪

,

(28.29)

где 𝑛₁ — число атомов в основном состоянии в 1 см³ и 𝑘₁₂ — коэффициент поглощения в резонансной линии, рассчитанный на один атом.