Курс теоретической астрофизики

Найдём теоретическую зависимость между звёздной величиной планеты m и углом фазы . Обозначим через косинус угла падения солнечных лучей в данном месте планеты, через — косинус угла отражения и через — разность азимутов падающего и отражённого лучей. Введём планетоцентрические координаты и (рис. 26). Очевидно, величины , , связаны с , и формулами

=

cos

cos

(-)

,

=

cos

cos

,

cos

=

-

(1-^2)(1-^2)

cos

.

(20.1)

Пусть nF — освещённость площадки, перпендикулярной к лучам Солнца на верхней границе атмосферы планеты и (,,) — коэффициент яркости атмосферы. Тогда интенсивность излучения, диффузно отражённого атмосферой, будет равна F(,,), а количество энергии, идущее от элемента площади d в единице телесного угла будет F(,,) d. Так как d=R^2cos  d d где R — радиус планеты, то это количество энергии может быть записано в виде

FR^2

(,,)

cos(-)

cos

cos^3

d

d

.

Чтобы получить полное количество энергии, идущее от Венеры в направлении Земли в единице телесного угла, надо проинтегрировать последнее выражение по в пределах от -/2 до +/2 и по в пределах от -/2 до +/2, т.е. от терминатора до края диска. Обозначая через расстояние от Венеры до Земли, для освещённости Земли от Венеры находим

E

_V

=

2F

R^2

^2

/2

-/2

cos(-)

cos

d

x

x

/2

0

(,,)

cos^3

d

.

(20.2)

Очевидно, что освещённость Земли от Солнца равна E_T=F(r/r)^2, где r — расстояние от Солнца до Венеры и r — расстояние от Солнца до Земли, а E_V/E_T=2,512^m-m, где m — звёздная величина Солнца. Поэтому получаем

2,512

^m-m

=

2

rR

r

^2

/2

-/2

cos(-)

cos

d

=

=

/2

0

(,,)

cos^3

d

.

(20.3)

Соотношение (20.3) даёт искомую теоретическую зависимость m от , т.е. позволяет построить теоретическую кривую блеска планеты. В соотношение (20.3) надо подставить выражение для (,,) и воспользоваться формулами (20.1). Так как коэффициент яркости (,,) зависит от величин x и , то, сравнивая между собой теоретическую и наблюдённую кривые блеска, можно определить указанные величины. При этом следует также принять во внимание соотношение

1

2

0

x

sin

d

=

1,

(20.4)

выражающее собой условие нормировки индикатрисы рассеяния.

При определении теоретической кривой блеска удобно в выражении для (,,) выделить член, учитывающий рассеяние первого порядка. В таком случае имеем

(,,)

=

4

x

+

+

(,,)

,

(20.5)

где =- и — член, учитывающий рассеяния высших порядков. Так как точное выражение для величины при произвольной индикатрисе рассеяния очень сложное, то мы определим эту величину приближённо, сохраняя в разложении индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра только два первых члена. Иными словами, величину найдём не для действительной индикатрисы рассеяния x, а для индикатрисы рассеяния

x

=

1

+

x

cos

,

(20.6)

где

x

=

3

2

0

x

cos

sin

d

.

(20.7)

Как было показано ранее, коэффициент яркости (,,) при индикатрисе рассеяния вида (20.6) даётся формулами (19.18) — (19.20). Пользуясь ими, находим

=

4

-x-1

+

+

+

x

4

^1^1cos +cos 

+

,

(20.8)

где вспомогательные функции , и ^1 определяются уравнениями (19.21) — (19.23). Как уже говорилось, эти функции табулированы. Заметим также, что при малой роли истинного поглощения в атмосфере (т.е. при значениях , близких к 1), из уравнений (19.21) и (19.22) могут быть получены следующие асимптотические формулы:

=

1-3

1-

3-x

1/2

,

(20.9)

=

3(1-)

3-x

1/2

,

(20.10)

где — функция, определяемая уравнением (19.16) при =1. Формулами (20.9) и (20.10) можно воспользоваться в случае Венеры, так как альбедо этой планеты весьма велико (порядка 0,7), а следовательно, величина 1- очень мала. При сферической индикатрисе рассеяния это видно из формулы (19.78), а при вытянутой вперёд индикатрисе рассеяния величина 1- будет ещё меньше.

Подставим теперь выражение (20.5) в соотношение (20.3). Результат этой подстановки можно записать в виде

x(-)

f

+

g

=

h

,

(20.11)

где введены обозначения

f

=

1

4

/2

-/2

cos  cos(-)

cos +cos(-)

d

x

x

/2

0

cos^2

d

=

=

16

1-

sin

2

tg

2

ln ctg

4

,

(20.12)

g

=

/2

-/2

cos

cos(-)

d

x

x

/2

0

cos^3

d

,

(20.13)

h

=

2

rR

r

^2

2,512

^m-m

.

(20.14)

Левая часть соотношения (20.11) определяется теоретически, а правая зависит только от наблюдательных данных. Если эти данные известны, то, пользуясь соотношением (20.11), а также формулами (20.4) и (20.7), можно найти величины x и .

Зависимость функции h от угла фазы обусловлена наблюдаемой кривой изменения блеска планеты. Эта кривая для Венеры определялась в ряде работ. Например, на основании данных Мюллера визуальная звёздная величина Венеры может быть представлена в виде

m

=-

4,71

+

0,013

22

+

0,000

000

425^3

(20.15)

в интервале от =24° до =156° при расстоянии Венеры от Земли, равном одной астрономической единице.

Определённая указанным способом индикатриса рассеяния в атмосфере Венеры приведена в табл. 25. При этом для величины m было принято среднее из значений, полученных Мюллером и Данжоном. Для данной индикатрисы рассеяния величина x, определённая формулой (20.7) и характеризующая вытянутость индикатрисы рассеяния, оказалась равной x. Альбедо частицы в атмосфере Венеры получилось равным =0,987, т.е. очень близким к 1. В той же таблице для сравнения приведена индикатриса рассеяния в безоблачной атмосфере Земли (определённая способом, изложенным ниже).

Таблица 25