Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Когда мне задали этот вопрос впервые, я предположил, что монета окажется в перевернутом положении, поскольку она прошла только половину пути вокруг неподвижной монеты. Но я ошибался. Королева делает полный оборот, что на первый взгляд противоречит здравому смыслу. Монета с королевской скоростью перемещается вокруг другой монеты, как будто отчаянно пытаясь сохранить достоинство, снова заняв строго вертикальное положение. Дело в том, что траектория движения монеты формируется благодаря свойству, присущему всем рулеттам: они представляют собой результат движения в двух независимых направлениях. В данном примере монета вращается вокруг себя и вокруг другой монеты. На каждый градус перемещения левой монеты вокруг правой приходится два градуса ее вращения вокруг себя.

Рулетты образуются в случае подвижного колеса. Однако кривые можно получить и посредством вращения колеса вокруг неподвижного центра. Такие кривые проще рулетт, поскольку формируются благодаря движению только в одном направлении — вокруг центра.

Возьмем точку на ободе колеса, вращающегося против часовой стрелки, как показано на рисунке 1 ниже. Если нанести на график высоту этой точки в зависимости от угла поворота, отмеченного на горизонтальной оси, получится кривая под названием синусоида, или синусоидальная волна. Я указал на рисунке положение точки при угле поворота 0, 45, 90, 225 и 270 градусов. Синусоида достигает максимума, когда угол поворота составляет 90 градусов, затем возвращается к горизонтальной оси при 180 градусах, после чего опускается ниже горизонтальной оси, а когда точка совершает полный оборот, возвращается в исходное положение. Если колесо продолжит вращаться, кривая будет повторяться с каждым новым оборотом, создавая симметричные волнообразные колебания до бесконечности.

Наверное, вам интересно знать, почему у названия этой волнистой линии один корень со словом «синус», которым обозначается соотношение между двумя сторонами прямоугольного треугольника, ведь между волнами и треугольниками нет ничего общего. Однако все это обретает смысл, если мы вспомним, что концепция синуса связана, прежде всего, с окружностью: это не что иное, как полухорда, что прекрасно видно на рисунке 2, где в окружности размещен прямоугольный треугольник. Предположим, длина гипотенузы равна 1, тогда синус угла α рассчитывается по формуле:

Первым синусоиду нарисовал Жиль де Роберваль в XVII столетии и назвал ее «кривой, сопутствующей циклоиде»[98]. Эта «спутница» займет впоследствии исключительное место в сердцах (и мыслях) ученых и математиков.

Изменение высоты вращающейся точки по отношению к углу поворота порождает синусоидальную волну

Синусоида — это кривая, которую называют периодической волной, поскольку она повторяется вдоль горизонтальной оси снова и снова. Синусоида — простой тип периодических волн, так как образующая ее окружность является простейшей геометрической фигурой. Однако, несмотря на то что синусоида представляет собой базовую концепцию, она моделирует множество физических явлений. Мир — настоящий карнавал синусоид. Изменяющееся во времени вертикальное положение груза, перемещающегося вместе с пружиной вверх и вниз, — это синусоида, как показано на левом рисунке ниже[99]. Груз движется с максимальной скоростью в середине периода колебания и замедляет движение в момент достижения верхней и нижней точек, что создает легко узнаваемую кривую (на рисунке отображено небольшое количество колебаний, ввиду того что горизонтальная ось здесь ограничена). Изменяющееся во времени горизонтальное положение маятника, колеблющегося из стороны в сторону с небольшой амплитудой, тоже образует синусоиду. Представьте себе, что шар маятника наполнен мелким песком и он просачивается через отверстие в нижней точке шара, как показано на рисунке снизу. Маятник, качающийся с севера на юг, оставит след в виде синусоидальной волны на ленте конвейера, движущейся с востока на запад. Говорят, что такие объекты, как пружина и маятник, колебания которых изменяются с течением времени по синусоидальному закону, совершают простое гармоническое колебание.

Подвешенный на пружине груз и колеблющийся маятник совершают простое гармоническое колебание